Travail, puissance, énergie
101
l
d
F
A
E
B
E
B
A
C
ext
P
P
→
→
.
)
(
)
(
∫
−
=
−
l
d
F
dE
C
ext
P
→
→
.
−
=
C
ext
P
F
E
grad
→
−
=
Forme intégrale
Forme différentielle
Forme locale
Figure 4.6 • Représentation schématique des trois formes possibles de l’énergie potentielle.
c) Exemples d’énergie potentielle
Énergie potentielle de pesanteur. En reprenant les résultat obtenus à l’équation (4.1),
nous avons avec l’axe Oz, axe vertical ascendant :
W A→B
− →
P
= mg(z A − z B ) = E PP (A) − E PP (B)
Par comparaison avec la relation intégrale, il apparaît clairement que nous pouvons définir
la fonction énergie potentielle de pesanteur E PP (z) par
E PP (z) = mgz + C
Cette fonction est définie à une constante C près qu’il convient de fixer. La détermination
de cette constante se fait par le choix arbitraire du zéro de la fonction énergie potentielle.
En général, l’énergie potentielle de pesanteur est prise nulle en z = 0 ce qui impose
C = 0. Ce choix entraîne que
E PP (z) = mgz
Remarques
• Le calcul de l’énergie potentielle de pesanteur se fait tout aussi simplement à partir de
la relation différentielle :
d W
− →
P
=
− →
P . d
− →
l = −mg − → u z .(d x − → u x + d z − → u z ) = −mg d z = − d E PP
Nous obtenons immédiatement l’expression de la fonction énergie potentielle
E PP = mgz, en choisissant la constante nulle comme précédemment ;
• Si l’axe Oz est orienté vers le bas (axe vertical descendant) nous obtenons :
d W P =
− →
P . d
− →
l = −mg − → u z .(d x − → u x + d z − → u z ) = −mg d z
et l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur devient :
E pp = −mgz
Il faut donc bien préciser l’orientation choisie pour l’axe Oz pour utiliser la bonne expression de l’énergie potentielle. Un bon moyen de vérifier si l’expression utilisée est
correcte consiste à vérifier que l’énergie potentielle de pesanteur augmente toujours
avec l’altitude.