282 Chapitre 10
Cinématique du point et du solide
Exercice 10.11
1. Frottement solide.
•
d #» v
dt
=
dv
dt
#» ux = −a0 #» ux. D’où :
dv
dt
= −a0. Par intégration : v(t) = −a0t + C1. En tenant compte
des conditions initiales : v(0) = C1 = v0. Finalement : #» v (t) = (−a0t + v0) #» ux.
•
d
# »
OM
dt
= #» v (t), soit :
dx
dt
#» ux = (−a0t + v0) #» ux. Par intégration : x(t) = −a0
t
2
2
+ v0t + C2. En tenant
compte des conditions initiales : x(0) = C2 = 0. Finalement :
# »
OM (t) = (−a0
t
2
2
+ v0t) #» ux.
• Soit t1 la date d’arrêt : v(t1) = −a0t1 + v0 = 0. On en déduit : t1 =
v0
a0
, puis la distance parcourue :
d = x(t1) =
v
2
0
2a0
= 0,50 m.
2. Frottement fluide.
•
d #» v
dt
=
dv
dt
#» ux = −αv #» ux. D’où :
dv
dt
+ αv = 0. Par intégration : v(t) = K exp(−αt). En tenant
compte des conditions initiales : v(0) = K = v0. Finalement : #» v (t) = v0 exp(−αt) #» ux.
•
d
# »
OM
dt
= #» v (t), soit :
dx
dt
#» ux = v0 exp(−αt) #» ux. Par intégration : x(t) = −
v0
α
exp(−αt) + C. En
tenant compte des conditions initiales : x(0) = −
v0
α
+ C = 0, d’où : C =
v0
α
. Finalement :
# »
OM (t) =
v0
α
(1 − exp(−αt)) #» ux.
• x(t) tend donc asymptotiquement vers d =
v0
α
= 10 m qui correspond à la distance maximale
parcourue.
Exercice 10.12
1. Pour le guépard, pendant sa phase d’accélération :
d
2 xG
dt 2 = aG. En intégrant deux fois on obtient,
compte tenu des conditions initiales : vG(t) = aGt et xG(t) =
1
2
aGt
2 .
Cette phase prend fin à la date tG1 définie par : vG(tG1) = aGtG1 = vGL. On trouve :
tG1 =
vGL
aG
= 3,00 s. À cette date : xG(tG1) =
1
2
v
2
GL
aG
= 45,0 m.
Pour t > tG1 la vitesse reste constante et égale à vGL. Donc : xG(t > tG1) = vGL(t − tG1) + xG(tG1).
Cette phase dure jusqu’à la date tG2 = tG1 + 10,0 s = 13,0 s. À cette date : xG(tG2) = 345 m.
Pour l’antilope, pendant sa phase d’accélération :
d
2 xA
dt 2 = aA. En intégrant deux fois on obtient,
compte tenu des conditions initiales : vA(t) = aA(t − tA0) et xA(t) =
1
2
aA(t − tA0)
2 + D.
Cette phase prend fin à la date tA1 définie par : vA(tA1) = aA(tA1 − tA0) = vAL. On trouve :
tA1 = tA0 +
vAL
aL
= 3,00 s. À cette date : xA(tA1) =
1
2
aA(tA1 − tA0)
2 + D = 142 m.
Pour t > tA1 la vitesse reste constante et égale à vAL. Donc : xA(t > tA1) = xA(tA1) + vAL(t − tA1).
2. Sur la figure ci-dessous sont tracées les courbes représentatives de xA(t) et xV (t).
partagelivrescpge.blogspot.com
Cinématique du point et du solide
Exercice 10.11
1. Frottement solide.
•
d #» v
dt
=
dv
dt
#» ux = −a0 #» ux. D’où :
dv
dt
= −a0. Par intégration : v(t) = −a0t + C1. En tenant compte
des conditions initiales : v(0) = C1 = v0. Finalement : #» v (t) = (−a0t + v0) #» ux.
•
d
# »
OM
dt
= #» v (t), soit :
dx
dt
#» ux = (−a0t + v0) #» ux. Par intégration : x(t) = −a0
t
2
2
+ v0t + C2. En tenant
compte des conditions initiales : x(0) = C2 = 0. Finalement :
# »
OM (t) = (−a0
t
2
2
+ v0t) #» ux.
• Soit t1 la date d’arrêt : v(t1) = −a0t1 + v0 = 0. On en déduit : t1 =
v0
a0
, puis la distance parcourue :
d = x(t1) =
v
2
0
2a0
= 0,50 m.
2. Frottement fluide.
•
d #» v
dt
=
dv
dt
#» ux = −αv #» ux. D’où :
dv
dt
+ αv = 0. Par intégration : v(t) = K exp(−αt). En tenant
compte des conditions initiales : v(0) = K = v0. Finalement : #» v (t) = v0 exp(−αt) #» ux.
•
d
# »
OM
dt
= #» v (t), soit :
dx
dt
#» ux = v0 exp(−αt) #» ux. Par intégration : x(t) = −
v0
α
exp(−αt) + C. En
tenant compte des conditions initiales : x(0) = −
v0
α
+ C = 0, d’où : C =
v0
α
. Finalement :
# »
OM (t) =
v0
α
(1 − exp(−αt)) #» ux.
• x(t) tend donc asymptotiquement vers d =
v0
α
= 10 m qui correspond à la distance maximale
parcourue.
Exercice 10.12
1. Pour le guépard, pendant sa phase d’accélération :
d
2 xG
dt 2 = aG. En intégrant deux fois on obtient,
compte tenu des conditions initiales : vG(t) = aGt et xG(t) =
1
2
aGt
2 .
Cette phase prend fin à la date tG1 définie par : vG(tG1) = aGtG1 = vGL. On trouve :
tG1 =
vGL
aG
= 3,00 s. À cette date : xG(tG1) =
1
2
v
2
GL
aG
= 45,0 m.
Pour t > tG1 la vitesse reste constante et égale à vGL. Donc : xG(t > tG1) = vGL(t − tG1) + xG(tG1).
Cette phase dure jusqu’à la date tG2 = tG1 + 10,0 s = 13,0 s. À cette date : xG(tG2) = 345 m.
Pour l’antilope, pendant sa phase d’accélération :
d
2 xA
dt 2 = aA. En intégrant deux fois on obtient,
compte tenu des conditions initiales : vA(t) = aA(t − tA0) et xA(t) =
1
2
aA(t − tA0)
2 + D.
Cette phase prend fin à la date tA1 définie par : vA(tA1) = aA(tA1 − tA0) = vAL. On trouve :
tA1 = tA0 +
vAL
aL
= 3,00 s. À cette date : xA(tA1) =
1
2
aA(tA1 − tA0)
2 + D = 142 m.
Pour t > tA1 la vitesse reste constante et égale à vAL. Donc : xA(t > tA1) = xA(tA1) + vAL(t − tA1).
2. Sur la figure ci-dessous sont tracées les courbes représentatives de xA(t) et xV (t).
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