144 Chapitre 5
Circuits électriques dans l’ARQS
Exercice 5.11
1. Le schéma électrique est représenté ci-contre.
2. L’intensité circulant dans R s’écrit i =
E
R + r
.
Nous en déduisons la puissance reçue par la résistance :
P(R) = Ri
2 = R
E
2
(R + r) 2
3. La dérivée de la puissance par rapport à R a pour expression :
dP
dR
= E
2 (r − R)
(r + R) 3
Cette dérivée est nulle pour R = r, positive si R < r et négative
sinon. La puissance est donc maximale pour r = R et vaut alors :
Pmax = P(r) =
E
2
4r
= 18 W
La courbe demandée est tracée ci-contre.
E
r
i
R
P
r
R
0
Exercice 5.12
1. L’association en série des ampoules A et B est équivalente à
une résistance 2R (schéma équivalent du haut). L’association
en parallèle de cette résistance 2R avec l’ampoule C est ensuite
équivalente à une résistance
2R
3
(montage équivalent du bas).
La résistance totale du circuit est celle de l’association en série
des résistances R et
2R
3
, soit RT =
5R
3
.
On en déduit : I =
E
RT
=
3E
5R
.
La loi des nœuds appliquée au nœud N donne : I = I1 + I2. Par
ailleurs 2RI1 = RI2. De ces deux relations on déduit :
I1 =
I
3
=
E
5R
et I2 =
2I
3
=
2E
5R
.
Les puissances consommées par les différentes ampoules valent
alors : PD = RI
2 =
9E
2
25R
= 1,3 W, PC = RI
2
2 =
4E
2
25R
= 0,58 W
et PA = PB = RI
2
1 =
E
2
25R
= 0,14 W.
12 V
I
R
I2
2R I1
R
•
N
12 V
I
2R
3
R
2. Si A grille le courant ne circule plus dans sa branche et la résistance totale du circuit devient celle de
l’association en série de C et D, soit 2R. On en déduit l’intensité I du courant traversant C et D :
I =
E
2R
, puis les puissances qu’elles dissipent : PC = PD =
E
2
4R
= 0,90 W. La puissance dissipée dans
B, traversée par aucun courant, est quant à elle nulle.
La tension aux bornes de A est la même que celle aux bornes de C soit
E
2
= 6,0 V.
3. Si A grille, C, montée en parallèle avec l’association série de A et B, pourra continuer de fonctionner.
En revanche B, montée en série avec A, ne fonctionnera plus. Il est donc préférable de monter les
ampoules en parallèle dans une guirlande de Noël.
partagelivrescpge.blogspot.com
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Exercice 5.11
1. Le schéma électrique est représenté ci-contre.
2. L’intensité circulant dans R s’écrit i =
E
R + r
.
Nous en déduisons la puissance reçue par la résistance :
P(R) = Ri
2 = R
E
2
(R + r) 2
3. La dérivée de la puissance par rapport à R a pour expression :
dP
dR
= E
2 (r − R)
(r + R) 3
Cette dérivée est nulle pour R = r, positive si R < r et négative
sinon. La puissance est donc maximale pour r = R et vaut alors :
Pmax = P(r) =
E
2
4r
= 18 W
La courbe demandée est tracée ci-contre.
E
r
i
R
P
r
R
0
Exercice 5.12
1. L’association en série des ampoules A et B est équivalente à
une résistance 2R (schéma équivalent du haut). L’association
en parallèle de cette résistance 2R avec l’ampoule C est ensuite
équivalente à une résistance
2R
3
(montage équivalent du bas).
La résistance totale du circuit est celle de l’association en série
des résistances R et
2R
3
, soit RT =
5R
3
.
On en déduit : I =
E
RT
=
3E
5R
.
La loi des nœuds appliquée au nœud N donne : I = I1 + I2. Par
ailleurs 2RI1 = RI2. De ces deux relations on déduit :
I1 =
I
3
=
E
5R
et I2 =
2I
3
=
2E
5R
.
Les puissances consommées par les différentes ampoules valent
alors : PD = RI
2 =
9E
2
25R
= 1,3 W, PC = RI
2
2 =
4E
2
25R
= 0,58 W
et PA = PB = RI
2
1 =
E
2
25R
= 0,14 W.
12 V
I
R
I2
2R I1
R
•
N
12 V
I
2R
3
R
2. Si A grille le courant ne circule plus dans sa branche et la résistance totale du circuit devient celle de
l’association en série de C et D, soit 2R. On en déduit l’intensité I du courant traversant C et D :
I =
E
2R
, puis les puissances qu’elles dissipent : PC = PD =
E
2
4R
= 0,90 W. La puissance dissipée dans
B, traversée par aucun courant, est quant à elle nulle.
La tension aux bornes de A est la même que celle aux bornes de C soit
E
2
= 6,0 V.
3. Si A grille, C, montée en parallèle avec l’association série de A et B, pourra continuer de fonctionner.
En revanche B, montée en série avec A, ne fonctionnera plus. Il est donc préférable de monter les
ampoules en parallèle dans une guirlande de Noël.
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