108 Chapitre 4
Introduction au monde quantique
Exercices
Exercice 4.1 Puits carré et potiron
Méthode (4.2)
Dans le cas d’une molécule de β-carotène, l’interaction de la lumière avec la matière dans le domaine
visible dépend essentiellement des électrons π qui peuvent se déplacer tout le long de la molécule.
CH3
CH3
CH3
CH3
CH3
CH3
CH3
CH3
CH3
H3C
Dans un modèle très simple, les électrons π sont libres de se déplacer dans un puits de potentiel
infiniment profond et de largeur L, L correspondant à la longueur des liaisons le long desquelles
les électrons π sont délocalisés. Dans le cas du β-carotène : L = 1,83 nm.
Données : constante de Planck h = 6,63 · 10
−34 J · s ; masse de l’électron m e = 9,1 · 10
−31 kg ;
célérité de la lumière dans le vide c = 3,0 · 10
8 m · s
−1 .
On rappelle que 1 eV = 1,6 · 10
−19 J.
1. En exploitant une analogie avec la corde vibrante de longueur L fixée à ses extrémités, déterminer les niveaux d’énergie E n d’un électron dans le puits de potentiel en introduisant un nombre
entier n.
2. Calculer l’écart d’énergie E 12 − E 11 entre les niveaux n = 12 et n = 11 en eV.
3. Quelle est la longueur d’onde dans le vide d’un photon absorbé par la molécule lorsqu’un
électron passe du niveau n = 11 au niveau n = 12 ?
4. Proposer une explication à la couleur orangée de la soupe au potiron.
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