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Physique statistique
La probabilité P(n) d’avoir n pas vers la droite est donc :
P(n) =
N!
n! n !
p
n q
n
(34)
que l’on peut aussi écrire sous la forme :
P(n) =
N!
n!(N − n)!
p
n q
N−n = C
n
N p
n q
N−n
(35)
Le nombre de pas à droite varie de 0 à N et on peut vérifier que la distribution de probabilité est normalisée :
N
n=0
P(n) =
N
n=0
C
n
N p
n q
N−n = (p + q)
N = 1
(36)
car p + q = 1. En effet, chaque élément de la somme n’est autre qu’un terme de développement du binôme :
(a + b)
N =
N
n=0
C
n
N a
n b
N−n
(37)
C’est pour cette raison que l’on appelle (35) la distribution binomiale. Il est facile de
trouver la probabilité P(m) de se déplacer d’une longueur x = ml. Il suffit pour cela de
substituer n, dans l’expression (35), par :
n =
N + m
2
(38)
ce qui conduit à :
P(m) =
N!
N + m
2
!
N − m
2
!
p
N+m
2 q
N−m
2
(39)
Dans le cas particulier où p = q =
1
2 , on a :
P(m) =
N!
N + m
2
!
N − m
2
!
1
2
N
(40)
La distribution est symétrique par rapport à n = 0.
Exemple. Considérons N = 3 et symbolisons un déplacement à droite, ou à gauche, par une
flèche pointant dans la direction correspondante. Dans la figure 3 nous avons indiqué les différentes séquences possibles associées à chaque valeur de m. On remarquera que le nombre de
séquences associé à chaque valeur de n est donné par un nombre du triangle de Pascal utilisé
pour obtenir les coefficients du développement du binôme. Tout nombre du triangle est obtenu
comme la somme du nombre situé juste au dessus de lui et du nombre à gauche de ce dernier (si
un des nombres n’est pas présent, comme c’est le cas sur les bords, on prend zéro pour le nombre
absent). La construction du triangle de Pascal est basée sur la relation :
C
n
N = C
n−1
N−1 + C
n
N−1
(41)
Physique statistique
La probabilité P(n) d’avoir n pas vers la droite est donc :
P(n) =
N!
n! n !
p
n q
n
(34)
que l’on peut aussi écrire sous la forme :
P(n) =
N!
n!(N − n)!
p
n q
N−n = C
n
N p
n q
N−n
(35)
Le nombre de pas à droite varie de 0 à N et on peut vérifier que la distribution de probabilité est normalisée :
N
n=0
P(n) =
N
n=0
C
n
N p
n q
N−n = (p + q)
N = 1
(36)
car p + q = 1. En effet, chaque élément de la somme n’est autre qu’un terme de développement du binôme :
(a + b)
N =
N
n=0
C
n
N a
n b
N−n
(37)
C’est pour cette raison que l’on appelle (35) la distribution binomiale. Il est facile de
trouver la probabilité P(m) de se déplacer d’une longueur x = ml. Il suffit pour cela de
substituer n, dans l’expression (35), par :
n =
N + m
2
(38)
ce qui conduit à :
P(m) =
N!
N + m
2
!
N − m
2
!
p
N+m
2 q
N−m
2
(39)
Dans le cas particulier où p = q =
1
2 , on a :
P(m) =
N!
N + m
2
!
N − m
2
!
1
2
N
(40)
La distribution est symétrique par rapport à n = 0.
Exemple. Considérons N = 3 et symbolisons un déplacement à droite, ou à gauche, par une
flèche pointant dans la direction correspondante. Dans la figure 3 nous avons indiqué les différentes séquences possibles associées à chaque valeur de m. On remarquera que le nombre de
séquences associé à chaque valeur de n est donné par un nombre du triangle de Pascal utilisé
pour obtenir les coefficients du développement du binôme. Tout nombre du triangle est obtenu
comme la somme du nombre situé juste au dessus de lui et du nombre à gauche de ce dernier (si
un des nombres n’est pas présent, comme c’est le cas sur les bords, on prend zéro pour le nombre
absent). La construction du triangle de Pascal est basée sur la relation :
C
n
N = C
n−1
N−1 + C
n
N−1
(41)