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Physique statistique
A.6 PARTICULE LIBRE DANS UNE BOÎTE CUBIQUE
Considérons une particule libre de masse m dans une boîte cubique de côté L (figure
2, chapitre 2). La fonction d’onde c(x, y, z) de ce système permet de complètement déterminer les propriétés de la particule. Elle est solution de l’équation de Schrödinger
indépendante du temps. Celle-ci s’écrit en coordonnées cartésiennes :
−
2
2m
Dc(x, y, z) = −
2
2m
∂ 2
∂x 2 +
∂ 2
∂y 2 +
∂ 2
∂z 2
c(x, y, z) = Ec(x, y, z)
(43)
C’est une équation aux valeurs propres pour l’opérateur −
2
2m
D qui est associé à l’énergie cinétique de la particule (D est l’opérateur laplacien). Le problème lié à la résolution de (43) est connu en mathématiques sous le nom de problème de Sturm-Liouville.
Comme D est la somme de termes qui n’agissent que sur une des variable x, y ou z, on
cherche la solution sous la forme : c(x, y, z) = c x (x)c y (x)c z (x). Ceci conduit à :
−
2
2m
c y c z
d 2
dx 2 c x + c x c z
d 2
dy 2 c y + c x c y
d 2
dz 2 c z
= Ec x c y c z
(44)
ou, en divisant par c x c y c z et en multipliant par
2m
2 :
1
c x
d 2 c x
dx 2 +
1
c y
d 2 c y
dy 2 +
1
c z
d 2 c z
dz 2 = −
2mE
2 = −K
2
(45)
écrivons (45) sous la forme :
1
c x
d 2 c x
dx 2 = −K
2
−
1
c y
d 2 c y
dy 2 −
1
c z
d 2 c z
dz 2
(46)
Le premier membre ne dépend que de x alors que le second ne dépend que de y et de
z. Comme x, y et z sont des variables indépendantes, il ne peut y avoir égalité que si les
deux membres sont égaux à une constante que nous poserons égale à −K 2
x . Donc :
1
c x
d 2 c x
dx 2 = −K
2
x
(47)
On peut utiliser un raisonnement analogue pour le second terme de (45) et écrire :
1
c y
d 2 c y
dy 2 = −K
2 + K
2
x −
1
c z
d 2 c z
dz 2 = −K
2
y
(48)
Par conséquent, l’équation (43) se réduit à trois équations identiques du point de vue
mathématique :
1
c x
d 2 c x
dx 2 = −K
2
x ,
1
c y
d 2 c y
dy 2 = −K
2
y et
1
c z
d 2 c z
dz 2 = −K
2
z
(49)
où K 2
x +K 2
y +K 2
z = K 2 . La solution de la première équation a la même forme que celle d’un
oscillateur harmonique : c x = A x cos(K x x)+B x sin(K x x). Comme l’énergie potentielle est
infinie à l’extérieur de la boîte, c x = 0 lorsque x 0 et x L. Ces conditions aux limites
Physique statistique
A.6 PARTICULE LIBRE DANS UNE BOÎTE CUBIQUE
Considérons une particule libre de masse m dans une boîte cubique de côté L (figure
2, chapitre 2). La fonction d’onde c(x, y, z) de ce système permet de complètement déterminer les propriétés de la particule. Elle est solution de l’équation de Schrödinger
indépendante du temps. Celle-ci s’écrit en coordonnées cartésiennes :
−
2
2m
Dc(x, y, z) = −
2
2m
∂ 2
∂x 2 +
∂ 2
∂y 2 +
∂ 2
∂z 2
c(x, y, z) = Ec(x, y, z)
(43)
C’est une équation aux valeurs propres pour l’opérateur −
2
2m
D qui est associé à l’énergie cinétique de la particule (D est l’opérateur laplacien). Le problème lié à la résolution de (43) est connu en mathématiques sous le nom de problème de Sturm-Liouville.
Comme D est la somme de termes qui n’agissent que sur une des variable x, y ou z, on
cherche la solution sous la forme : c(x, y, z) = c x (x)c y (x)c z (x). Ceci conduit à :
−
2
2m
c y c z
d 2
dx 2 c x + c x c z
d 2
dy 2 c y + c x c y
d 2
dz 2 c z
= Ec x c y c z
(44)
ou, en divisant par c x c y c z et en multipliant par
2m
2 :
1
c x
d 2 c x
dx 2 +
1
c y
d 2 c y
dy 2 +
1
c z
d 2 c z
dz 2 = −
2mE
2 = −K
2
(45)
écrivons (45) sous la forme :
1
c x
d 2 c x
dx 2 = −K
2
−
1
c y
d 2 c y
dy 2 −
1
c z
d 2 c z
dz 2
(46)
Le premier membre ne dépend que de x alors que le second ne dépend que de y et de
z. Comme x, y et z sont des variables indépendantes, il ne peut y avoir égalité que si les
deux membres sont égaux à une constante que nous poserons égale à −K 2
x . Donc :
1
c x
d 2 c x
dx 2 = −K
2
x
(47)
On peut utiliser un raisonnement analogue pour le second terme de (45) et écrire :
1
c y
d 2 c y
dy 2 = −K
2 + K
2
x −
1
c z
d 2 c z
dz 2 = −K
2
y
(48)
Par conséquent, l’équation (43) se réduit à trois équations identiques du point de vue
mathématique :
1
c x
d 2 c x
dx 2 = −K
2
x ,
1
c y
d 2 c y
dy 2 = −K
2
y et
1
c z
d 2 c z
dz 2 = −K
2
z
(49)
où K 2
x +K 2
y +K 2
z = K 2 . La solution de la première équation a la même forme que celle d’un
oscillateur harmonique : c x = A x cos(K x x)+B x sin(K x x). Comme l’énergie potentielle est
infinie à l’extérieur de la boîte, c x = 0 lorsque x 0 et x L. Ces conditions aux limites