Annexe
343
Avec ce choix, il nous reste n − m termes dx i qui peuvent alors être choisis comme
indépendants. On doit donc avoir :
∂f
∂x i
+
m
a=1
l a
∂g a
∂x i
= 0 pour m + 1 i n
(23)
ce qui revient, dans la pratique, à chercher l’extremum de la fonction F définie par (20)
comme si les différentielles dx i étaient indépendantes (les paramètres de Lagranges sont
des constantes). Un tel calcul conduit à un (ou plusieurs) extrema qui dépendent des
paramètres de Lagrange l a . Ceux-ci sont alors déterminés par les équations (18).
A.3 FORMULES ET INTÉGRALES UTILES
A.3.1 L’approximation de Stirling
La fonction factorielle : n! = 1 × 2 × 3 × . . . × (n − 1) × n devient bien vite incalculable
lorsque n est grand. On peut néanmoins l’évaluer avec une excellente approximation en
remarquant que :
Log n! =
n
i=1
Log i
n
1
Log xdx = [x Log x − x]
n
1 = n Log n − n + 1
(24)
Lorsque n 1, on obtient l’approximation de Stirling :
Log n! = n Log n − n
(25)
qui est excellente pour les nombres mis en jeu en physique statistique. Lorsque n est
petit, on utilise parfois une approximation plus précise :
Log n! = n Log n − n +
1
2
Log (2pn) soit n! =
√
2pn n
n e −n
(26)
Si n = 10 24 (25) et (26) donnent pratiquement le même résultat (la contribution du
dernier terme de (26) est ∼ 5 × 10 −25 fois plus faible que les précédents). Par contre, si
n = 20 la formule de Stirling donne le résultat avec 6% d’erreur alors que (26) permet
d’obtenir une approximation à 0,01% .
A.3.2 Fonction Gamma
On appelle fonction gamma, l’intégrale définie suivante :
G(n + 1) =
∞
0
x
n e
−x dx pour n > −1
(27)
Par intégration par parties, on peut établir la relation suivante :
G(n + 1) =
∞
0
x
n e
−x dx = −
x
n e
−x
∞
0
+ n
∞
0
x
n−1 e
−x dx = nG(n)
(28)
si n est entier G(1) =
∞
0 e −x dx = 1, d’où G(n + 1) = n!. La définition (27) permet
de généraliser la notion de factorielle à des nombres non entiers. Pour les nombres n
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
343
Avec ce choix, il nous reste n − m termes dx i qui peuvent alors être choisis comme
indépendants. On doit donc avoir :
∂f
∂x i
+
m
a=1
l a
∂g a
∂x i
= 0 pour m + 1 i n
(23)
ce qui revient, dans la pratique, à chercher l’extremum de la fonction F définie par (20)
comme si les différentielles dx i étaient indépendantes (les paramètres de Lagranges sont
des constantes). Un tel calcul conduit à un (ou plusieurs) extrema qui dépendent des
paramètres de Lagrange l a . Ceux-ci sont alors déterminés par les équations (18).
A.3 FORMULES ET INTÉGRALES UTILES
A.3.1 L’approximation de Stirling
La fonction factorielle : n! = 1 × 2 × 3 × . . . × (n − 1) × n devient bien vite incalculable
lorsque n est grand. On peut néanmoins l’évaluer avec une excellente approximation en
remarquant que :
Log n! =
n
i=1
Log i
n
1
Log xdx = [x Log x − x]
n
1 = n Log n − n + 1
(24)
Lorsque n 1, on obtient l’approximation de Stirling :
Log n! = n Log n − n
(25)
qui est excellente pour les nombres mis en jeu en physique statistique. Lorsque n est
petit, on utilise parfois une approximation plus précise :
Log n! = n Log n − n +
1
2
Log (2pn) soit n! =
√
2pn n
n e −n
(26)
Si n = 10 24 (25) et (26) donnent pratiquement le même résultat (la contribution du
dernier terme de (26) est ∼ 5 × 10 −25 fois plus faible que les précédents). Par contre, si
n = 20 la formule de Stirling donne le résultat avec 6% d’erreur alors que (26) permet
d’obtenir une approximation à 0,01% .
A.3.2 Fonction Gamma
On appelle fonction gamma, l’intégrale définie suivante :
G(n + 1) =
∞
0
x
n e
−x dx pour n > −1
(27)
Par intégration par parties, on peut établir la relation suivante :
G(n + 1) =
∞
0
x
n e
−x dx = −
x
n e
−x
∞
0
+ n
∞
0
x
n−1 e
−x dx = nG(n)
(28)
si n est entier G(1) =
∞
0 e −x dx = 1, d’où G(n + 1) = n!. La définition (27) permet
de généraliser la notion de factorielle à des nombres non entiers. Pour les nombres n
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.