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Physique statistique
2- Le nombre dN d’atomes du jet qui peuvent pénétrer dans le cylindre, et qui ont une vitesse
dont le module est compris entre v et v + dv, vaut (le faisceau est perpendiculaire à la surface
percée dans le four et dt = 1s) :
dN = vf (v)dv = B exp
−
mv
2
2kT
v
3 dv
Or
dN
dL =
dN
dv
dv
dL et
dv
dL = −
vD
2
2L 2 . Donc :
dN = −B
vD
2
2
4 dL
L 5 exp
−
mv
2 D
4
8kTL 2
= −C exp
−
mv
2 D
4
8kT
1
L 2
dL
L 5 .
˜
L est le maximum de la fonction G(L) =
e
−a/L 2
L 5
avec a =
mv
2 D
4
8kT .
dG
dL =
e
−a/L 2
L 6
2a
L 2 − 5
ce
qui donne ˜
L =
vD
2
2
m
5kT . Dans l’exercice précédent, nous avons trouvé que la vitesse la plus
probable des atomes dans le jet vaut : ˜
v =
3kT/m. On en tire ˜
L =
3
5
vD
2
2˜ v . Si tous les atomes
avaient cette vitesse ˜
v, ils frapperaient le cylindre à l’abscisse L 0 =
vD
2
2˜ v =
5
3
˜
L.
3- ˜
v = 270 m/s, ˜
L = 3, 5 × 10
−3 m.
Exercice 7. 1- < E >= 5NkT/2.
2- < E x >= kT, < E y >= kT et < E z >= kT/2.
Exercice 8. 1 et 2- équations (134) et (136) du chapitre 6.
3- Si kT v , < E >= v/2. Le système est dans son état fondamental (énergie dite de point
zéro). Si kT v , < E >= kT (théorème d’équipartition qui n’est valable que dans la limite
classique).
Chapitre 8
Exercice 1. Posons C =
2pm
h 2
3/2 . Alors C = −CV(kT)
5/2 e
m/kT . (37) permet de calculer les
quantités suivantes : N = −
∂C
∂m = −
C
kT (De cette relation on tire m = −kT Log
V
N C(kT)
3/2
),
P = −
∂C
∂V = −
C
V , S = −
∂C
∂T = −
5
2
C
T +
m
kT 2 C.
L’équation d’état s’obtient en éliminant C entre P et N. On obtient PV = NkT. De l’équation
d’Euler (équation 30, chapitre 1) on tire :
E = TS + C − mN = −
5
2
C +
m
kT
C + C −
m
kT
C = −
3
2
C
d’où, en utilisant l’équation d’état : E =
3
2 NkT.
Exercice 2. 1- Le nombre N d’atomes adsorbés est fixé, La fonction de partition canonique
vaut : Z c (N, A, T) = C
N
A · e
bN´0 .
2- Z G (m, A, T) =
A
N=0
e
bmN
· Z c (N, A, T) =
A
N=0
C
N
A · e
b(m+´0)N =
1 + e
b(m+´0)
A .
3- < N ads >= k B T ·
∂ ln ZG
∂m = k B TA ·
∂
∂m ln(1 + e
b(m+´0) ) = A ·
e
b(m+´ 0 )
1+e b(m+´ 0 ) =
A
1+e −b(m+´ 0 ) A = u · A avec
u(p) =
1
1+e −b(m+´ 0 ) .
Physique statistique
2- Le nombre dN d’atomes du jet qui peuvent pénétrer dans le cylindre, et qui ont une vitesse
dont le module est compris entre v et v + dv, vaut (le faisceau est perpendiculaire à la surface
percée dans le four et dt = 1s) :
dN = vf (v)dv = B exp
−
mv
2
2kT
v
3 dv
Or
dN
dL =
dN
dv
dv
dL et
dv
dL = −
vD
2
2L 2 . Donc :
dN = −B
vD
2
2
4 dL
L 5 exp
−
mv
2 D
4
8kTL 2
= −C exp
−
mv
2 D
4
8kT
1
L 2
dL
L 5 .
˜
L est le maximum de la fonction G(L) =
e
−a/L 2
L 5
avec a =
mv
2 D
4
8kT .
dG
dL =
e
−a/L 2
L 6
2a
L 2 − 5
ce
qui donne ˜
L =
vD
2
2
m
5kT . Dans l’exercice précédent, nous avons trouvé que la vitesse la plus
probable des atomes dans le jet vaut : ˜
v =
3kT/m. On en tire ˜
L =
3
5
vD
2
2˜ v . Si tous les atomes
avaient cette vitesse ˜
v, ils frapperaient le cylindre à l’abscisse L 0 =
vD
2
2˜ v =
5
3
˜
L.
3- ˜
v = 270 m/s, ˜
L = 3, 5 × 10
−3 m.
Exercice 7. 1- < E >= 5NkT/2.
2- < E x >= kT, < E y >= kT et < E z >= kT/2.
Exercice 8. 1 et 2- équations (134) et (136) du chapitre 6.
3- Si kT v , < E >= v/2. Le système est dans son état fondamental (énergie dite de point
zéro). Si kT v , < E >= kT (théorème d’équipartition qui n’est valable que dans la limite
classique).
Chapitre 8
Exercice 1. Posons C =
2pm
h 2
3/2 . Alors C = −CV(kT)
5/2 e
m/kT . (37) permet de calculer les
quantités suivantes : N = −
∂C
∂m = −
C
kT (De cette relation on tire m = −kT Log
V
N C(kT)
3/2
),
P = −
∂C
∂V = −
C
V , S = −
∂C
∂T = −
5
2
C
T +
m
kT 2 C.
L’équation d’état s’obtient en éliminant C entre P et N. On obtient PV = NkT. De l’équation
d’Euler (équation 30, chapitre 1) on tire :
E = TS + C − mN = −
5
2
C +
m
kT
C + C −
m
kT
C = −
3
2
C
d’où, en utilisant l’équation d’état : E =
3
2 NkT.
Exercice 2. 1- Le nombre N d’atomes adsorbés est fixé, La fonction de partition canonique
vaut : Z c (N, A, T) = C
N
A · e
bN´0 .
2- Z G (m, A, T) =
A
N=0
e
bmN
· Z c (N, A, T) =
A
N=0
C
N
A · e
b(m+´0)N =
1 + e
b(m+´0)
A .
3- < N ads >= k B T ·
∂ ln ZG
∂m = k B TA ·
∂
∂m ln(1 + e
b(m+´0) ) = A ·
e
b(m+´ 0 )
1+e b(m+´ 0 ) =
A
1+e −b(m+´ 0 ) A = u · A avec
u(p) =
1
1+e −b(m+´ 0 ) .