314
Physique statistique
−1 peut être obtenu pour a), b), d) et 4 fois pour e), soit 7 fois.
0 peut être obtenu de 2 façons pour a), b) et d), de 6 façons pour e) et de une manière pour c) et
f), soit 14 fois.
+1 peut être obtenu pour a), b), d) et 4 fois pour e), soit 7 fois.
+2 peut être obtenu seulement pour e), soit une fois. Les probabilités de trouver chaque projection
sont donc :
P(S z = −2) = 1/30, P(S z = −1) = 7/30, P(S z = 0) = 14/30,
P(S z = +1) = 7/30, P(S z = +2) = 1/30.
3- La valeur la plus probable est ˜
S z = 0. La distribution est symétrique, donc < S z >= 0.
Exercice 4. La probabilité pour que n cellules fonctionnent est donnée par la formule (35). La
f.e.m. de la batterie vaut dans ce cas U = nv. La puissance moyenne dissipée dans la résistance
est donnée par < P >=
2 >
R
=
2 >v
2
R
, soit d’après (55) < P >=
v
2
R
N
2 p
2 + Np(1 − p)
.
Exercice 5. 1- q = 1 − p.
2- a) La probabilité d’émission de n électrons pendant l’intervalle de temps t est donnée par (35).
< Q >=< n > e = eNp d’après (46).
b) (DQ)
2 = e
2 (Dn)
2 = e
2 Np(1 − p) d’après (56). Soit (DQ)
2
e
2 Np si p est petit.
c) < I >=
eNp
t , (DI)
2 =
e
2
t 2 Np(1 − p) =
e
t < I > (1 − p). Donc, si p 1
(DI)
2
=
e
t .
d) Les fluctuations sont inversement proportionnelles au temps. Elles seront donc très importantes au début du chauffage du filament. (DI)
2 = 1, 6 × 10
−22 A
2 d’où DI = 1, 26 × 10
−11 A.
Exercice 6. Les formules (78), (79) et (83) nous permettent d’écrire :
P(˜ n)
P(0)
=
1
√
2ps 2
1
√
2ps 2
exp
−
˜
n
2
2s 2
= exp
˜
n
2
2s 2
= exp
N
2 p
2
2Npq
= exp
N
2
Ce rapport vaut exp(500) si N = 1000 et exp(3 × 10
23 ) si N = N .
Exercice 7. 1- a) Par hypothèse p=q=1/2. Le nombre total de sauts est N=t/t. La probabilité P(n) que l’atome de cuivre marqué fasse n sauts à droite est donnée par la formule (35).
L’abscisse x de l’atome de cuivre est x = nl − (N − n)l = (2n − N)l.
b) La formule (46) conduit à
= (2 −N)l = 0,
et la formule (62) à
(Dx)
2 = 4l
2 < (n− )
2 >= 4l
2 N/4 = Nl
2 .
Puisque N = t/t, = 0 et (Dx)
2 = tl
2 /t.
c) D’après le calcul amenant à l’équation (78) la valeur de n la plus probable est égale à la valeur
moyenne ˜
n = N/2. Donc ˜
x =< x >= 0.
d) La démonstration est identique à celle du paragraphe 6-b et Q(n) à la formule (81).
s
2 = Npq = N/4.