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Physique statistique
c) Le nombre de micro-états qui sont accessibles aux 3 particules de spin 0 et dont l’énergie est
comprise entre E tot et E tot + dE vaut :
V(E tot ) =
dF(E tot )
dE
dE =
4pL
3 m
h 3
√
2mEdE
d) Pour 3 fermions de spin 1/2 : V(E tot ) = 2
4pL
3 m
h 3
√
2mEdE.
Exercice 15. 1- En utilisant la figure de l’exercice 3 on voit que :
– pour la boîte II, on a une seule configuration possible. Mais le niveau 9´ 0 est dégénéré 3 fois
ce qui donne 3 micro-états.
– pour la boîte I on peut :
a) mettre une particule sur le niveau 3´ 0 et une sur le niveau 9´ 0 .
b) ou mettre les deux particules en 6´ 0
a) Le niveau 9´ 0 est dégénéré 3 fois. Il faut d’autre part tenir compte de l’ordre de rangement
des 2 particules qui sont discernables, ce qui donne 3×2=6 micro-états.
b) L’état 6´ 0 est dégénéré 3 fois, soit au total 3
2 = 9 micro-états. Le nombre de microétats qui sont accessibles au système isolé composé des 2 boîtes accolées est le produit
V tot = V I (12´ 0 ) × V II (9´ 0 ) = (9 + 6) × 3 = 45.
2- Lorsqu’on retire la paroi, l’énergie totale E tot = (9+12)´ 0 = 21´ 0 est conservée. Le système est
maintenant composé de 3 particules libres dans un volume double du volume initial. Le spectre
des énergies à une particule est donné par : ´ nxnynz = ´ 0 (
n
2
x
4 + n
2
y + n
2
z ). Cette différence entre
les longueurs des côtés du parallélépipède lève certaines dégénérescences de niveaux. Certaines
énergies ne sont plus égales à un nombre entier de fois ´ 0 , mais à (2p+1)´ 0 /4. Puisque le nombre
de particules est impair, aucune d’entre elles ne peut se trouver sur un de ces niveaux. Les seules
configurations possibles sont les suivantes :
a) 2 particules en 6´ 0 , 1 particule en 9´ 0 .
b) 1 particule en 3´ 0 , une en 6´ 0 et une en 12´ 0
g) 1 particule en 3´ 0 et 2 en 9´ 0 . On a perdu la symétrie de la boîte cubique et les niveaux qui
nous intéressent peuvent être obtenus de la façon suivante :
3´ 0 ⇒ (2,1,1)
6´ 0 ⇒ (2,2,1) ou (2,1,2) ou (4,1,1)
9´ 0 ⇒ (2,2,2) ou (4,1,2) ou (4,2,1)
12´ 0 ⇒ (4,2,2)
a) Comme la dégénérescence des états est la même qu’avant et comme les particules sont discernables on trouve :
9 (2 particules en 6´ 0 ) × 3 (1 en 9´ 0 ) × 3 (permutations) = 81 micro-états.
b) Il y seulement 3 configurations possibles mais pour chacune d’entre elles, 3×2 permutations,
soit 18 micro-états.
g) Il y a 3
2 = 9 configurations possibles mais pour chacune 3 façons de placer les particules, soit
9×3=27 micro-états.
Au cours de cette transformation, on observe donc une forte augmentation du nombre de microétats accessibles au système, c’est à dire de l’entropie du système.
Physique statistique
c) Le nombre de micro-états qui sont accessibles aux 3 particules de spin 0 et dont l’énergie est
comprise entre E tot et E tot + dE vaut :
V(E tot ) =
dF(E tot )
dE
dE =
4pL
3 m
h 3
√
2mEdE
d) Pour 3 fermions de spin 1/2 : V(E tot ) = 2
4pL
3 m
h 3
√
2mEdE.
Exercice 15. 1- En utilisant la figure de l’exercice 3 on voit que :
– pour la boîte II, on a une seule configuration possible. Mais le niveau 9´ 0 est dégénéré 3 fois
ce qui donne 3 micro-états.
– pour la boîte I on peut :
a) mettre une particule sur le niveau 3´ 0 et une sur le niveau 9´ 0 .
b) ou mettre les deux particules en 6´ 0
a) Le niveau 9´ 0 est dégénéré 3 fois. Il faut d’autre part tenir compte de l’ordre de rangement
des 2 particules qui sont discernables, ce qui donne 3×2=6 micro-états.
b) L’état 6´ 0 est dégénéré 3 fois, soit au total 3
2 = 9 micro-états. Le nombre de microétats qui sont accessibles au système isolé composé des 2 boîtes accolées est le produit
V tot = V I (12´ 0 ) × V II (9´ 0 ) = (9 + 6) × 3 = 45.
2- Lorsqu’on retire la paroi, l’énergie totale E tot = (9+12)´ 0 = 21´ 0 est conservée. Le système est
maintenant composé de 3 particules libres dans un volume double du volume initial. Le spectre
des énergies à une particule est donné par : ´ nxnynz = ´ 0 (
n
2
x
4 + n
2
y + n
2
z ). Cette différence entre
les longueurs des côtés du parallélépipède lève certaines dégénérescences de niveaux. Certaines
énergies ne sont plus égales à un nombre entier de fois ´ 0 , mais à (2p+1)´ 0 /4. Puisque le nombre
de particules est impair, aucune d’entre elles ne peut se trouver sur un de ces niveaux. Les seules
configurations possibles sont les suivantes :
a) 2 particules en 6´ 0 , 1 particule en 9´ 0 .
b) 1 particule en 3´ 0 , une en 6´ 0 et une en 12´ 0
g) 1 particule en 3´ 0 et 2 en 9´ 0 . On a perdu la symétrie de la boîte cubique et les niveaux qui
nous intéressent peuvent être obtenus de la façon suivante :
3´ 0 ⇒ (2,1,1)
6´ 0 ⇒ (2,2,1) ou (2,1,2) ou (4,1,1)
9´ 0 ⇒ (2,2,2) ou (4,1,2) ou (4,2,1)
12´ 0 ⇒ (4,2,2)
a) Comme la dégénérescence des états est la même qu’avant et comme les particules sont discernables on trouve :
9 (2 particules en 6´ 0 ) × 3 (1 en 9´ 0 ) × 3 (permutations) = 81 micro-états.
b) Il y seulement 3 configurations possibles mais pour chacune d’entre elles, 3×2 permutations,
soit 18 micro-états.
g) Il y a 3
2 = 9 configurations possibles mais pour chacune 3 façons de placer les particules, soit
9×3=27 micro-états.
Au cours de cette transformation, on observe donc une forte augmentation du nombre de microétats accessibles au système, c’est à dire de l’entropie du système.