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Physique statistique
Le seuil de percolation dépend également de la nature du réseau. Ceci est illustré dans
le tableau ci-dessous dans lequel nous indiquons les seuils de percolation de sites et
de liens pour des réseaux bidimensionnels carrés, triangulaires (ensemble de triangles
jointifs, chaque particule a trois voisins) et hexagonaux (hexagones jointifs).
Réseau
Sites (p c ) Liens (q c )
Carré
0,593
0,500
Triangulaire 0,500
0,347
Hexagonal
0,696
0,653
Les approches de percolation permettent de distinguer deux comportements pour le
système étudié :
• l’un dominé par des effets à courte portée. C’est ce qui se passe lorsque l’on est en
dessous du seuil de percolation, i.e. lorsque l’amas le plus gros est fini (pour un système
infini).
• l’autre dominé par des effets à grande distance, lorsque l’amas de percolation est infini
(pour un système infini).
Pour un système fini, i.e. contenant un nombre fini de particules, l’amas de percolation
n’est bien entendu pas infini mais s’étend dans toute la région accessible au système : il
s’établit un ordre à grande distance. La transition de percolation est moins abrupte que
pour un système infini et elle l’est de moins en moins au fur et à mesure que le nombre
de particules du système diminue.
Un grand nombre de phénomènes peuvent être décrits par des approches de percolation. Citons en quelques uns pour illustration.
• La fabrication du café dans un percolateur est, comme sa désignation l’indique, typiquement un problème de percolation. Il s’agit pour l’eau de traverser une épaisseur de
café qui a été au préalable tassé. L’amas est alors défini comme la taille du chemin suivi
par l’eau. Si l’on est en dessous du seuil de percolation, i.e. si le café est très comprimé,
l’eau ne peut pas passer au travers du café et le chemin le plus long est petit devant
l’épaisseur à traverser. Rien ne sort du percolateur et l’on n’a pas de café. Si l’on est
au dessus du seuil de percolation, le chemin suivi par l’eau s’étend sur toute l’épaisseur
du café et elle peut passer au travers : on obtient donc un café. La qualité de ce dernier
dépendra de la facilité avec laquelle l’eau passe au travers du café. Si c’est trop facile, le
café sera dilué et pas très bon. Pour qu’il soit le plus concentré possible, il faut se trouver
au voisinage du seuil de percolation, i.e. juste avant que l’eau ne puisse plus passer.
• Dans une transition sol-gel, on passe d’une solution, qui est un liquide aux propriétés
tout à fait classiques, à un gel, qui est une gelée qui résiste si on la soumet à une traction.
L’exemple le plus courant d’une telle transition est la transformation d’un œuf cru en
œuf dur. On l’observe également lorsque l’on utilise de la gélatine en cuisine ou si l’on
réalise une réaction de polymérisation. Dans ce dernier cas, on part d’une solution de
monomère, ou d’un mélange de monomères, et l’on obtient une macromolécule géante
qui occupe pratiquement tout le récipient. Dans une transition sol-gel, les propriétés
Physique statistique
Le seuil de percolation dépend également de la nature du réseau. Ceci est illustré dans
le tableau ci-dessous dans lequel nous indiquons les seuils de percolation de sites et
de liens pour des réseaux bidimensionnels carrés, triangulaires (ensemble de triangles
jointifs, chaque particule a trois voisins) et hexagonaux (hexagones jointifs).
Réseau
Sites (p c ) Liens (q c )
Carré
0,593
0,500
Triangulaire 0,500
0,347
Hexagonal
0,696
0,653
Les approches de percolation permettent de distinguer deux comportements pour le
système étudié :
• l’un dominé par des effets à courte portée. C’est ce qui se passe lorsque l’on est en
dessous du seuil de percolation, i.e. lorsque l’amas le plus gros est fini (pour un système
infini).
• l’autre dominé par des effets à grande distance, lorsque l’amas de percolation est infini
(pour un système infini).
Pour un système fini, i.e. contenant un nombre fini de particules, l’amas de percolation
n’est bien entendu pas infini mais s’étend dans toute la région accessible au système : il
s’établit un ordre à grande distance. La transition de percolation est moins abrupte que
pour un système infini et elle l’est de moins en moins au fur et à mesure que le nombre
de particules du système diminue.
Un grand nombre de phénomènes peuvent être décrits par des approches de percolation. Citons en quelques uns pour illustration.
• La fabrication du café dans un percolateur est, comme sa désignation l’indique, typiquement un problème de percolation. Il s’agit pour l’eau de traverser une épaisseur de
café qui a été au préalable tassé. L’amas est alors défini comme la taille du chemin suivi
par l’eau. Si l’on est en dessous du seuil de percolation, i.e. si le café est très comprimé,
l’eau ne peut pas passer au travers du café et le chemin le plus long est petit devant
l’épaisseur à traverser. Rien ne sort du percolateur et l’on n’a pas de café. Si l’on est
au dessus du seuil de percolation, le chemin suivi par l’eau s’étend sur toute l’épaisseur
du café et elle peut passer au travers : on obtient donc un café. La qualité de ce dernier
dépendra de la facilité avec laquelle l’eau passe au travers du café. Si c’est trop facile, le
café sera dilué et pas très bon. Pour qu’il soit le plus concentré possible, il faut se trouver
au voisinage du seuil de percolation, i.e. juste avant que l’eau ne puisse plus passer.
• Dans une transition sol-gel, on passe d’une solution, qui est un liquide aux propriétés
tout à fait classiques, à un gel, qui est une gelée qui résiste si on la soumet à une traction.
L’exemple le plus courant d’une telle transition est la transformation d’un œuf cru en
œuf dur. On l’observe également lorsque l’on utilise de la gélatine en cuisine ou si l’on
réalise une réaction de polymérisation. Dans ce dernier cas, on part d’une solution de
monomère, ou d’un mélange de monomères, et l’on obtient une macromolécule géante
qui occupe pratiquement tout le récipient. Dans une transition sol-gel, les propriétés