10 • Transitions de phase (I)
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10.8 NOTION DE GROUPE DE RENORMALISATION
À la température critique, les fluctuations de toutes tailles sont possibles. On dit qu’il
n’y a plus d’échelle de longueur et que la physique est invariante d’échelle. Ceci a pour
conséquence qu’on ne peut pas appliquer de développements perturbatifs pour modéliser
le phénomène et il faut faire intervenir de nouveaux concepts. La méthode du groupe
3 de
renormalisation introduite par K.Wilson en 1971 a permis de faire un saut très important
dans la compréhension des phénomènes critiques. Il s’agit d’une méthode permettant de
construire des théories pour décrire des phénomènes critiques. Elle permet de réduire un
problème très complexe en une séquence de problèmes plus simples et dont la solution
est plus accessible.
Remarque. La notion de groupe de renormalisation a été introduite en 1953 par les physiciens travaillant dans le domaine des particules élémentaires pour éliminer les divergences
qui existent dans la théorie quantique des champs (divergences dites ultraviolettes car elles
correspondent à de grands moments). La renormalisation, qui permettait d’éliminer des
« infinis » de cette théorie, pouvait se faire de diverses manières. Le groupe de renormalisation, introduit à cette époque, avait pour but d’exprimer l’invariance de la physique par
rapport aux diverses procédures de renormalisation. Ces idées ont évolué pour aboutir à
une théorie plus générale du groupe de renormalisation introduite par Wilson en 1971. Ce
dernier a obtenu, en 1982, le prix Nobel de physique pour ce travail.
L’idée du groupe de renormalisation est de changer l’échelle du système et de voir
l’évolution de ses propriétés. Prenons, pour illustrer ce concept, l’exemple du modèle
de Ising bidimensionnel. Le changement d’échelle peut se faire en groupant les nœuds
du réseau neuf par neuf et en remplaçant ceux-ci par un spin dont l’orientation est donnée par l’orientation majoritaire des 9 spins initiaux (méthode des blocs de spins). On
peut répéter ceci plusieurs fois et étudier la manière dont le système évolue. Ceci est
schématiquement représenté sur la figure 7 en partant d’une température T > T c avec
un réseau 9 × 9. Dans une première étape, on génère un réseau 3 × 3 par la méthode
indiquée plus haut. On répète cette opération et cela conduit au réseau 1 × 1. On constate
qualitativement, et cela est confirmé quantitativement, que la longueur de corrélation diminue lorsque le nombre de transformations augmente. Ces dernières conduisent donc à
une augmentation de la température. Plus précisément, pour un réseau infini, on obtient,
après plusieurs applications de la transformation, un réseau infini complètement désordonné dont la température associée est T = ∞. La longueur de corrélation devient donc
nulle. Le nombre de transformations nécessaires pour obtenir cette situation est d’autant
plus grand que T est proche de T c . Néanmoins, lorsque la température initiale est telle
que T > T c , on obtient toujours, après application répétée des transformations, un état
caractérisé par T = ∞. On observe également une évolution similaire lorsque l’on part
d’un système à T < T c . Toutefois, dans ce cas, il faut se souvenir que les fluctuations
sont relatives à l’état fondamental qui correspond ici à la situation où tous les spins sont
orientés dans le même sens. Par conséquent, en partant de T < T c , on obtient, après
3. Le mot groupe est ici utilisé pour des raisons historiques. En effet, l’ensemble des transformations ne constitue
pas réellement un groupe mais plutôt un semigroupe puisque chaque transformation est irréversible.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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10.8 NOTION DE GROUPE DE RENORMALISATION
À la température critique, les fluctuations de toutes tailles sont possibles. On dit qu’il
n’y a plus d’échelle de longueur et que la physique est invariante d’échelle. Ceci a pour
conséquence qu’on ne peut pas appliquer de développements perturbatifs pour modéliser
le phénomène et il faut faire intervenir de nouveaux concepts. La méthode du groupe
3 de
renormalisation introduite par K.Wilson en 1971 a permis de faire un saut très important
dans la compréhension des phénomènes critiques. Il s’agit d’une méthode permettant de
construire des théories pour décrire des phénomènes critiques. Elle permet de réduire un
problème très complexe en une séquence de problèmes plus simples et dont la solution
est plus accessible.
Remarque. La notion de groupe de renormalisation a été introduite en 1953 par les physiciens travaillant dans le domaine des particules élémentaires pour éliminer les divergences
qui existent dans la théorie quantique des champs (divergences dites ultraviolettes car elles
correspondent à de grands moments). La renormalisation, qui permettait d’éliminer des
« infinis » de cette théorie, pouvait se faire de diverses manières. Le groupe de renormalisation, introduit à cette époque, avait pour but d’exprimer l’invariance de la physique par
rapport aux diverses procédures de renormalisation. Ces idées ont évolué pour aboutir à
une théorie plus générale du groupe de renormalisation introduite par Wilson en 1971. Ce
dernier a obtenu, en 1982, le prix Nobel de physique pour ce travail.
L’idée du groupe de renormalisation est de changer l’échelle du système et de voir
l’évolution de ses propriétés. Prenons, pour illustrer ce concept, l’exemple du modèle
de Ising bidimensionnel. Le changement d’échelle peut se faire en groupant les nœuds
du réseau neuf par neuf et en remplaçant ceux-ci par un spin dont l’orientation est donnée par l’orientation majoritaire des 9 spins initiaux (méthode des blocs de spins). On
peut répéter ceci plusieurs fois et étudier la manière dont le système évolue. Ceci est
schématiquement représenté sur la figure 7 en partant d’une température T > T c avec
un réseau 9 × 9. Dans une première étape, on génère un réseau 3 × 3 par la méthode
indiquée plus haut. On répète cette opération et cela conduit au réseau 1 × 1. On constate
qualitativement, et cela est confirmé quantitativement, que la longueur de corrélation diminue lorsque le nombre de transformations augmente. Ces dernières conduisent donc à
une augmentation de la température. Plus précisément, pour un réseau infini, on obtient,
après plusieurs applications de la transformation, un réseau infini complètement désordonné dont la température associée est T = ∞. La longueur de corrélation devient donc
nulle. Le nombre de transformations nécessaires pour obtenir cette situation est d’autant
plus grand que T est proche de T c . Néanmoins, lorsque la température initiale est telle
que T > T c , on obtient toujours, après application répétée des transformations, un état
caractérisé par T = ∞. On observe également une évolution similaire lorsque l’on part
d’un système à T < T c . Toutefois, dans ce cas, il faut se souvenir que les fluctuations
sont relatives à l’état fondamental qui correspond ici à la situation où tous les spins sont
orientés dans le même sens. Par conséquent, en partant de T < T c , on obtient, après
3. Le mot groupe est ici utilisé pour des raisons historiques. En effet, l’ensemble des transformations ne constitue
pas réellement un groupe mais plutôt un semigroupe puisque chaque transformation est irréversible.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.