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Physique statistique
en intégrant l’équation (123) par parties et en posant x =
v
kT
, on trouve :
F = −V
k 4 T 4
3p 2 3 c 3
∞
0
x 3 dx
e x − 1
= −V
k 4 T 4
3p 2 3 c 3
p 4
15
= −
4
3
s
c
VT
4
(123)
Nous pouvons à présent calculer la pression et l’entropie :
P = −
∂F
∂V
T
=
4s
3c
T
4
(124)
S = −
∂F
∂T
V
=
16
3c
sVT
3
(125)
Comme E = F + TS, on retrouve l’équation (119) :
E =
4s
c
VT
4 = −3F
(126)
La chaleur spécifique à volume constant vaut :
C V =
∂E
∂T
V
=
16s
c
VT
3
(127)
En utilisant (119, 125) on trouve l’équation d’état d’un gaz de photons :
PV =
E
3
(128)
Cette équation d’état est différente de celle que nous avons trouvée précédemment pour
des gaz de Fermi ou de Bose constitués de particules non relativistes. Cette différence
provient de ce que les photons se propagent à la vitesse de la lumière. Un gaz d’électrons
ultrarelativistes (i.e. dont les électrons ont pratiquement la vitesse de la lumière, donc
tels que pc mc 2 ) obéit d’ailleurs à la même équation d’état. En effet, l’énergie d’une
particule dont la masse au repos vaut m, et dont l’impulsion est p, est donnée par la
relation :
E
2 = p
2 c
2 + m
2 c
4
(129)
Enfin, le nombre total moyen de photons présents dans la cavité est donné par :
N =
V
p 2 c 3
∞
0
v 2 dv
e
v
kT − 1
=
VT 3 k 3
p 2 3 c 3
∞
0
x 2 dx
e x − 1
= 0, 24
kT
c
3
V
(130)
ce nombre est proportionnel à T 3 .