9 • Gaz de Fermi et gaz de Bose
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que l’on appelle intégrale de Bose. L’énergie interne du système est donnée par :
E = 2p
gV
h 3 (2m)
3/2 (kT)
5/2 J 3/2 (h)
(78)
La pression du gaz de Bose vaut :
P =
4p
3
g
h 3 (2m)
3/2 (kT)
5/2 J 3/2 (h)
(79)
L’équation d’état du gaz de Bose est la même que celle du gaz de Fermi ou d’un gaz
classique ; elle est donnée par l’expression (21). Enfin le grand potentiel a pour expression :
C = −PV = −
4p
3
gV
h 3 (2m)
3/2 (kT)
5/2 J 3/2 (h)
(80)
L’entropie, elle, est toujours donnée par la relation (27).
9.2.2 Utilisation de la fonction de partition grand canonique
Tout comme le gaz de Fermi, le gaz de Bose peut être traité en utilisant l’ensemble grand
canonique. La démarche est analogue à celle de la section 9.1.3 et nous ne signalerons
ici que les différences. La première apparaît dans l’équation (48) où la somme sur le
nombre d’occupation n’est plus effectuée de 0 à 1, comme pour les fermions, mais de 0
à l’infini, puisque plusieurs bosons peuvent occuper le même micro-état à une particule.
La fonction de partition grand canonique s’écrit par conséquent :
J =
i
∞
n i =0
exp
mn i − ´ i n i
kT
(81)
La somme qui intervient dans l’équation ci-dessus est une progression géométrique de
raison exp(
m − ´ i
kT
) < 1 dont le premier terme est égal à 1. Le résultat vaut :
∞
n i =0
exp
mn i − ´ i n i
kT
=
1
1 − exp(
m − ´ i
kT
)
(82)
Par conséquent :
J =
i
1
1 − exp(
m − ´ i
kT
)
(83)
Log J = −
i
Log
1 − exp(
m − ´ i
kT
)
(84)
Le grand potentiel vaut :
C = −kT Log J = kT
i
Log
1 − exp(
m − ´ i
kT
)
(85)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.