176
Physique statistique
9.1.3 Utilisation de la fonction de partition grand canonique
Dans cette section, nous allons reprendre le problème des fermions sans interaction
confinés dans un volume V en partant du formalisme que nous avons développé dans
le chapitre 8 qui repose sur la fonction de partition grand canonique. Celle-ci est donnée
par l’expression :
J =
N
r
{j}
exp b(mN − E N,r )
(40)
Dans l’équation (40) la sommation est faite sur tous les micro-états possibles du système
dont le nombre de particules peut varier de 0 à l’infini. Avant de présenter la méthode
plus en détails, il est nécessaire de faire quelques remarques sur une façon commode de
représenter un état constitué de N particules indiscernables sans interaction. Dans le but
d’exprimer l’énergie du micro-état à N particules E N,r en fonction de l’énergie des états
à une particule ´ i qui sont occupés par les N particules du système, nous allons, comme
dans la section 6.2, réordonner les micro-états à une particule de façon à ce qu’ils ne
dépendent que d’un seul indice i. Par conséquent, si un niveau d’énergie est dégénéré,
il lui correspond plusieurs micro-états caractérisés par un indice i différent. Avec cette
réorganisation, l’énergie totale du système de N fermions sans interaction peut s’écrire
comme la somme des énergies de chacune des particules :
E N,r = E {n i } =
i
n i ´ i
(41)
où ´ i est l’énergie du micro-état i à une seule particule, et n i le nombre de particules occupant ce micro-état. Ce nombre n i , qui est toujours égal à zéro ou un pour les fermions,
est appelé nombre d’occupation. Il vaut zéro lorsque le micro-état est vide et un lorsqu’il
est occupé. Le symbole {n i } représente l’ensemble des nombres d’occupation.
Exemple. Soient 3 fermions sans interaction occupant les niveaux ´ 2 , ´ 4 et ´ 5 d’une suite de
niveaux à une particule ´ i (i varie de 0 à l’infini). Alors :
E {ni} = 0 × ´ 0 + 0 × ´ 1 + 1 × ´ 2 + 0 × ´ 3 + 1 × ´ 4 + 1 × ´ 5 + 0 × ´ 6 + . . .
et l’ensemble {n i } peut s’écrire : {n i } = {n 0 , n 1 , n 2 , ...} = {0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, ...}
Comme le nombre total de particules est égal à N, on doit avoir :
∞
i=0
n i = N
(42)
L’utilisation des nombres d’occupation permet de définir sans ambiguïté les micro-états
d’un système constitué de N particules indiscernables. Cette méthode tient en effet automatiquement compte de l’indiscernabilité des particules et permet de dénombrer exactement les micro-états.
Physique statistique
9.1.3 Utilisation de la fonction de partition grand canonique
Dans cette section, nous allons reprendre le problème des fermions sans interaction
confinés dans un volume V en partant du formalisme que nous avons développé dans
le chapitre 8 qui repose sur la fonction de partition grand canonique. Celle-ci est donnée
par l’expression :
J =
N
r
{j}
exp b(mN − E N,r )
(40)
Dans l’équation (40) la sommation est faite sur tous les micro-états possibles du système
dont le nombre de particules peut varier de 0 à l’infini. Avant de présenter la méthode
plus en détails, il est nécessaire de faire quelques remarques sur une façon commode de
représenter un état constitué de N particules indiscernables sans interaction. Dans le but
d’exprimer l’énergie du micro-état à N particules E N,r en fonction de l’énergie des états
à une particule ´ i qui sont occupés par les N particules du système, nous allons, comme
dans la section 6.2, réordonner les micro-états à une particule de façon à ce qu’ils ne
dépendent que d’un seul indice i. Par conséquent, si un niveau d’énergie est dégénéré,
il lui correspond plusieurs micro-états caractérisés par un indice i différent. Avec cette
réorganisation, l’énergie totale du système de N fermions sans interaction peut s’écrire
comme la somme des énergies de chacune des particules :
E N,r = E {n i } =
i
n i ´ i
(41)
où ´ i est l’énergie du micro-état i à une seule particule, et n i le nombre de particules occupant ce micro-état. Ce nombre n i , qui est toujours égal à zéro ou un pour les fermions,
est appelé nombre d’occupation. Il vaut zéro lorsque le micro-état est vide et un lorsqu’il
est occupé. Le symbole {n i } représente l’ensemble des nombres d’occupation.
Exemple. Soient 3 fermions sans interaction occupant les niveaux ´ 2 , ´ 4 et ´ 5 d’une suite de
niveaux à une particule ´ i (i varie de 0 à l’infini). Alors :
E {ni} = 0 × ´ 0 + 0 × ´ 1 + 1 × ´ 2 + 0 × ´ 3 + 1 × ´ 4 + 1 × ´ 5 + 0 × ´ 6 + . . .
et l’ensemble {n i } peut s’écrire : {n i } = {n 0 , n 1 , n 2 , ...} = {0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, ...}
Comme le nombre total de particules est égal à N, on doit avoir :
∞
i=0
n i = N
(42)
L’utilisation des nombres d’occupation permet de définir sans ambiguïté les micro-états
d’un système constitué de N particules indiscernables. Cette méthode tient en effet automatiquement compte de l’indiscernabilité des particules et permet de dénombrer exactement les micro-états.