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Physique statistique
Figure 9.1
Si N est grand, on peut évaluer le nombre de micro-états comme dans la section précédente, en se plaçant dans l’espace de phase. Appelons p F l’impulsion associée à l’énergie
de Fermi :
´ F =
p 2
F
2m
(30)
Le nombre de particules dont le module de l’impulsion p est supérieur à p F est nul
par définition. Pour calculer le nombre de particules telles que p < p F , nous pouvons
reprendre les résultats de la section 9.1.1 (équation 9.7) en remplaçant la pondération de
Fermi-Dirac par l’unité (< n > = 1 si p < p F ). On trouve :
dN = gV
4pp 2 dp
h 3
(31)
Le nombre total de particules est obtenu en intégrant l’expression précédente de 0 à p F :
N =
p F
0
gV
4pp 2 dp
h 3
= g
V
h 3
4p
3
p
3
F
(32)
ce qui donne :
p F = h
3
4pg
1/3
r
1/3
(33)
Remarque. Nous aurions pu obtenir l’expression (32) directement. En effet, le volume
de l’espace de phase accessible au système est égal au produit du volume V dans l’espace ordinaire par le volume dans l’espace des moments. Comme p p F pour toutes
les particules, ce dernier est une sphère de rayon p F dont le volume vaut
4
3 pp
3
F . Il faut
par la suite multiplier le volume de l’espace de phase accessible,
4
3 pp
3
F V, par le facteur
de dégénérescence dû au spin, g, et diviser l’ensemble par le volume élémentaire d’une
cellule, h
3 .