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Physique statistique
Le nombre, d 6 N, de particules qui sont contenues dans un volume dV = dr et qui ont
une impulsion comprise entre p et p + dp peut être évalué simplement si on se place dans
l’espace de phase et que l’on décompte le nombre de micro-états accessibles, pondéré
par leur probabilité d’occupation. Nous avons déjà calculé ces deux types de termes :
- Le nombre de micro-états à une particule contenus dans le volume élémentaire dV dp
de l’espace de phase vaut :
g
dVdp
h 3
(2)
où g = 2s + 1 est le facteur de dégénérescence dû au spin s des fermions. Pour un gaz
d’électrons on a, par exemple, s =
1
2 .
- La probabilité, pour une particule, d’occuper un micro-état particulier d’énergie ´,
sachant que le potentiel chimique du système est m, est donnée par la distribution de
Fermi-Dirac (équation 8.45) :
1
exp(
´ − m
kT
) + 1
(3)
par conséquent :
d
6 N = g
dVdp
h 3
1
exp(
´ − m
kT
) + 1
(4)
Le nombre de particules d 3 N, dont l’impulsion est comprise entre p et p + dp, est obtenu
en intégrant d 6 N par rapport à dV = dx dy dz. Comme toutes les quantités qui interviennent dans le membre de droite de l’équation (4) sont indépendantes de la position
(le système est homogène), l’intégration est immédiate et conduit à :
d
3 N = gV
dp
h 3
1
exp(
´ − m
kT
) + 1
(5)
Le nombre de particules dN dont le module de l’impulsion est compris entre p et p + dp
s’obtient à partir de l’expression (5) en se plaçant en coordonnées sphériques (p, u,
w) et en intégrant sur les angles. La fonction à intégrer ne dépend que du module p
(´ =
p 2
2m
). Puisqu’elle est à symétrie sphérique dans l’espace des impulsions, il est
possible d’utiliser directement l’expression dp = 4pp 2 dp qui provient de l’intégration
de dp sur les angles u et w :
u
w
p
2 sin u dp du dw = p
2 dp
p
0
sin u du
2p
0
dw = 4pp
2 dp
(6)
ce qui donne :
dN = gV
4pp 2 dp
h 3
1
exp(
´ − m
kT
) + 1
(7)
Physique statistique
Le nombre, d 6 N, de particules qui sont contenues dans un volume dV = dr et qui ont
une impulsion comprise entre p et p + dp peut être évalué simplement si on se place dans
l’espace de phase et que l’on décompte le nombre de micro-états accessibles, pondéré
par leur probabilité d’occupation. Nous avons déjà calculé ces deux types de termes :
- Le nombre de micro-états à une particule contenus dans le volume élémentaire dV dp
de l’espace de phase vaut :
g
dVdp
h 3
(2)
où g = 2s + 1 est le facteur de dégénérescence dû au spin s des fermions. Pour un gaz
d’électrons on a, par exemple, s =
1
2 .
- La probabilité, pour une particule, d’occuper un micro-état particulier d’énergie ´,
sachant que le potentiel chimique du système est m, est donnée par la distribution de
Fermi-Dirac (équation 8.45) :
1
exp(
´ − m
kT
) + 1
(3)
par conséquent :
d
6 N = g
dVdp
h 3
1
exp(
´ − m
kT
) + 1
(4)
Le nombre de particules d 3 N, dont l’impulsion est comprise entre p et p + dp, est obtenu
en intégrant d 6 N par rapport à dV = dx dy dz. Comme toutes les quantités qui interviennent dans le membre de droite de l’équation (4) sont indépendantes de la position
(le système est homogène), l’intégration est immédiate et conduit à :
d
3 N = gV
dp
h 3
1
exp(
´ − m
kT
) + 1
(5)
Le nombre de particules dN dont le module de l’impulsion est compris entre p et p + dp
s’obtient à partir de l’expression (5) en se plaçant en coordonnées sphériques (p, u,
w) et en intégrant sur les angles. La fonction à intégrer ne dépend que du module p
(´ =
p 2
2m
). Puisqu’elle est à symétrie sphérique dans l’espace des impulsions, il est
possible d’utiliser directement l’expression dp = 4pp 2 dp qui provient de l’intégration
de dp sur les angles u et w :
u
w
p
2 sin u dp du dw = p
2 dp
p
0
sin u du
2p
0
dw = 4pp
2 dp
(6)
ce qui donne :
dN = gV
4pp 2 dp
h 3
1
exp(
´ − m
kT
) + 1
(7)