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Physique statistique
le plus bas ´ 0 = 0, que m 0. Par conséquent, le potentiel chimique d’un gaz parfait de
bosons est toujours négatif ou nul. La fonction de partition associée au micro-état i vaut
alors :
z i =
1
1 − exp (b(m − ´ i ))
(52)
Le nombre moyen de bosons occupant le micro-état i est obtenu à partir de (52) en
utilisant l’équation (39) :
=
1
exp
´ i − m
kT
− 1
(53)
La distribution du nombre de bosons qui suit la loi de probabilité (53) s’appelle la distribution de Bose-Einstein. Nous pouvons remarquer qu’elle ne diffère de la distribution
de Fermi-Dirac que par un changement du signe plus en signe moins au dénominateur.
EXERCICE
1. Gaz parfait monoatomique
Le grand potentiel d’un gaz parfait monoatomique vaut :
C = −
2pm
h 2
3/2
V(kT)
5/2 e
m
kT
Calculer la pression, le nombre moyen de particules, le potentiel chimique, l’énergie interne,
l’équation d’état du gaz ainsi que son entropie.
2. Adsorption
Un récipient de volume V contient un gaz parfait monoatomique. Ce gaz est en contact avec un
solide dont la surface peut piéger des atomes du gaz. On admet que cette surface se comporte
comme un ensemble de A « pièges », dits sites d’adsorption.
Chaque site peut adsorber un seul atome, dans un état unique, d"énergie −´ 0 . L’ensemble des
atomes adsorbés constitue un système de potentiel chimique m et de température T (température
d’équilibre du système gaz plus solide) fixés.
1- Calculer Z c (N, A, T) avec N < A, lorsque N atomes sont adsorbés.
2- En déduire Z G (m, A, T) de la phase adsorbée.
3- Calculer le nombre moyen < N ads > en fonction de ´ 0 , m, A et T. En déduire la probabilité
d’occupation d’un site : u = < N ads > /A.
4- Le potentiel chimique m est fixé par le gaz parfait. Calculer < N ads > en fonction de la pression
du gaz p, de A et de la température T. On posera :
p 0 (T) = k B T
2pmk B T
h 2
3/2
exp
−
´ 0
k B T
et on exprimera u en fonction de p et p 0 (T).
5- Tracer les courbes u(p) pour différentes températures (isothermes de Langmuir).
Physique statistique
le plus bas ´ 0 = 0, que m 0. Par conséquent, le potentiel chimique d’un gaz parfait de
bosons est toujours négatif ou nul. La fonction de partition associée au micro-état i vaut
alors :
z i =
1
1 − exp (b(m − ´ i ))
(52)
Le nombre moyen de bosons occupant le micro-état i est obtenu à partir de (52) en
utilisant l’équation (39) :
1
exp
´ i − m
kT
− 1
(53)
La distribution du nombre de bosons qui suit la loi de probabilité (53) s’appelle la distribution de Bose-Einstein. Nous pouvons remarquer qu’elle ne diffère de la distribution
de Fermi-Dirac que par un changement du signe plus en signe moins au dénominateur.
EXERCICE
1. Gaz parfait monoatomique
Le grand potentiel d’un gaz parfait monoatomique vaut :
C = −
2pm
h 2
3/2
V(kT)
5/2 e
m
kT
Calculer la pression, le nombre moyen de particules, le potentiel chimique, l’énergie interne,
l’équation d’état du gaz ainsi que son entropie.
2. Adsorption
Un récipient de volume V contient un gaz parfait monoatomique. Ce gaz est en contact avec un
solide dont la surface peut piéger des atomes du gaz. On admet que cette surface se comporte
comme un ensemble de A « pièges », dits sites d’adsorption.
Chaque site peut adsorber un seul atome, dans un état unique, d"énergie −´ 0 . L’ensemble des
atomes adsorbés constitue un système de potentiel chimique m et de température T (température
d’équilibre du système gaz plus solide) fixés.
1- Calculer Z c (N, A, T) avec N < A, lorsque N atomes sont adsorbés.
2- En déduire Z G (m, A, T) de la phase adsorbée.
3- Calculer le nombre moyen < N ads > en fonction de ´ 0 , m, A et T. En déduire la probabilité
d’occupation d’un site : u = < N ads > /A.
4- Le potentiel chimique m est fixé par le gaz parfait. Calculer < N ads > en fonction de la pression
du gaz p, de A et de la température T. On posera :
p 0 (T) = k B T
2pmk B T
h 2
3/2
exp
−
´ 0
k B T
et on exprimera u en fonction de p et p 0 (T).
5- Tracer les courbes u(p) pour différentes températures (isothermes de Langmuir).