134
Physique statistique
7. Théorie de Brillouin
On se propose de déterminer l’équation d’état d’une substance paramagnétique, i.e. la relation
existant entre le moment magnétique total M de la substance, sa température T et l’induction
magnétique B dans laquelle le solide est plongé. Soit J le moment cinétique total d’un ion paramagnétique et J le nombre quantique associé. J peut être entier ou demi-entier. Plongés dans
l’induction magnétique uniforme B, dirigée selon l’axe Oz, les ions peuvent occuper (2J + 1)
niveaux d’énergie non dégénérés numérotés par l’indice m qui peut varier de −J à +J par saut
d’une unité. L’énergie du niveau m s’écrit : ´ m = mGm B B, où G représente une constante numérique, caractéristique de l’ion paramagnétique considéré, appelée facteur de Landé, et m B est une
autre constante qui est appelée le magnéton de Bohr. Si l’on néglige toute interaction mutuelle
entre les ions :
1- Quelle est la probabilité P m pour qu’un ion soit sur le niveau m ? En déduire le nombre d’ions,
N m , dont l’énergie est égale à ´ m . (On pourra poser x =
Gm B B
kT
).
2- Calculer la fonction de partition Z des ions paramagnétiques.
3- L’énergie d’interaction entre le moment magnétique d’un ion et le champ d’induction magnétique B s’expriment par ´ = −MB. La projection M z du moment magnétique d’un ion dans l’état
m vaut M z = −mGM B . Calculer la projection M z du moment magnétique de la substance. En
déduire le moment magnétique moyen d’un ion suivant Oz.
4- Étudier les variations de M z en fonction de x et les cas particuliers a) x → ∞ et b) x → 0.
Montrer que pour x → 0, on retrouve la loi de Curie : M z = (CB/T). Calculer C.
8. Vibrations d’un solide, modèle d’Einstein
Le mouvement dans une direction d’un atome ou d’un ion appartenant à un solide peut, en première approximation, être assimilé à un mouvement d’oscillateur harmonique isotrope. L’atome
peut vibrer dans trois directions indépendantes.
1- Écrire la fonction de partition Z d’un atome du solide (utiliser pour cela les résultats de
l’exercice 2 du chapitre 2). Calculer Z en remarquant que son expression peut se décomposer en
un produit de séries qui ont été calculées dans ce chapitre.
2- Dans le modèle d’Einstein, on admet que tous les atomes vibrent avec la même pulsation v.
Soit N, le nombre d’atomes ou ions du solide considéré. Exprimer l’énergie interne E du solide en
fonction de N, Z et de la température T du solide. Calculer E et l’énergie moyenne de vibration
d’un atome. Quelle est l’énergie de vibration d’un atome suivant un axe ?
3- Calculer la capacité calorifique molaire C V du solide. Étudier les variations, en fonction de
la température, de E et de C V . Les représenter graphiquement (on pourra définir une quantité :
u =
v
k
, qui a les dimensions d’une température)
9. Vibration d’une molécule
On s’intéresse au mouvement de vibration des molécules d’un gaz parfait diatomique.
1- Calculer la fonction de partition ainsi que la capacité calorifique molaire du gaz sachant que
les vibrations peuvent être considérées comme harmoniques.
Physique statistique
7. Théorie de Brillouin
On se propose de déterminer l’équation d’état d’une substance paramagnétique, i.e. la relation
existant entre le moment magnétique total M de la substance, sa température T et l’induction
magnétique B dans laquelle le solide est plongé. Soit J le moment cinétique total d’un ion paramagnétique et J le nombre quantique associé. J peut être entier ou demi-entier. Plongés dans
l’induction magnétique uniforme B, dirigée selon l’axe Oz, les ions peuvent occuper (2J + 1)
niveaux d’énergie non dégénérés numérotés par l’indice m qui peut varier de −J à +J par saut
d’une unité. L’énergie du niveau m s’écrit : ´ m = mGm B B, où G représente une constante numérique, caractéristique de l’ion paramagnétique considéré, appelée facteur de Landé, et m B est une
autre constante qui est appelée le magnéton de Bohr. Si l’on néglige toute interaction mutuelle
entre les ions :
1- Quelle est la probabilité P m pour qu’un ion soit sur le niveau m ? En déduire le nombre d’ions,
N m , dont l’énergie est égale à ´ m . (On pourra poser x =
Gm B B
kT
).
2- Calculer la fonction de partition Z des ions paramagnétiques.
3- L’énergie d’interaction entre le moment magnétique d’un ion et le champ d’induction magnétique B s’expriment par ´ = −MB. La projection M z du moment magnétique d’un ion dans l’état
m vaut M z = −mGM B . Calculer la projection M z du moment magnétique de la substance. En
déduire le moment magnétique moyen
4- Étudier les variations de M z en fonction de x et les cas particuliers a) x → ∞ et b) x → 0.
Montrer que pour x → 0, on retrouve la loi de Curie : M z = (CB/T). Calculer C.
8. Vibrations d’un solide, modèle d’Einstein
Le mouvement dans une direction d’un atome ou d’un ion appartenant à un solide peut, en première approximation, être assimilé à un mouvement d’oscillateur harmonique isotrope. L’atome
peut vibrer dans trois directions indépendantes.
1- Écrire la fonction de partition Z d’un atome du solide (utiliser pour cela les résultats de
l’exercice 2 du chapitre 2). Calculer Z en remarquant que son expression peut se décomposer en
un produit de séries qui ont été calculées dans ce chapitre.
2- Dans le modèle d’Einstein, on admet que tous les atomes vibrent avec la même pulsation v.
Soit N, le nombre d’atomes ou ions du solide considéré. Exprimer l’énergie interne E du solide en
fonction de N, Z et de la température T du solide. Calculer E et l’énergie moyenne de vibration
3- Calculer la capacité calorifique molaire C V du solide. Étudier les variations, en fonction de
la température, de E et de C V . Les représenter graphiquement (on pourra définir une quantité :
u =
v
k
, qui a les dimensions d’une température)
9. Vibration d’une molécule
On s’intéresse au mouvement de vibration des molécules d’un gaz parfait diatomique.
1- Calculer la fonction de partition ainsi que la capacité calorifique molaire du gaz sachant que
les vibrations peuvent être considérées comme harmoniques.