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Physique statistique
Comme n x , n y et n z peuvent varier de manière indépendante, on peut fixer deux d’entre
eux, n x et n y par exemple, et faire la somme sur le troisième. Puis, on peut fixer n x et
sommer sur n y . Enfin, on somme sur le dernier nombre quantique. On peut donc écrire
(142) sous la forme :
z =
⎛
⎜
⎝
∞
nx=1
e
−
´ 0 n 2
x
kT
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
∞
ny=1
e
−
´ 0 n 2
y
kT
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
∞
nz=1
e
−
´ 0 n 2
z
kT
⎞
⎟
⎠
(143)
Lorsque la température n’est pas trop proche du zéro absolu (gaz parfait classique),
nous avons déjà fait remarquer (section 2.1.3) que les niveaux d’énergie étaient très
rapprochés comparés à l’énergie d’agitation thermique des particules constituant le gaz.
Par conséquent, dans l’équation (143), nous pouvons remplacer, avec une excellente
approximation, les sommes portant sur les nombres quantiques par des intégrales allant
de zéro à l’infini :
∞
nx=1
e
−n
2
x
´ 0
kT ≈
∞
0
e
−x
2 ´ 0
kT dx
(144)
Cette intégrale peut être évaluée analytiquement (cf. annexe A3.3). Elle vaut
pkT
4´ 0
.
D’où :
z =
pkT
4´ 0
3/2
=
mkT
2p 2
3/2
V =
2pmkT
h 2
3/2
V
(145)
Calculons les grandeurs thermodynamiques associées à ce système :
= kT
2 ∂ Log Z
∂T
=
3
2
kT
(146)
C V =
∂
∂T
V
=
3
2
k
(147)
F = −
3
2
kT Log
2pmkT
h 2
− kT Log V
(148)
S = k( Log Z + b )
= k Log V +
3
2
k Log T +
3
2
k Log
2pmk
h 2
+
3
2
k
(149)
enfin :

= −
∂F
∂V
T
=
kT
V
(150)
6.6.4 Rotation d’une molécule diatomique hétéronucléaire
On peut parfois considérer une molécule diatomique comme un rotateur rigide dont le
moment d’inertie par rapport à un axe passant par son centre de masse est égal à I .