6 • L’ensemble canonique
107
où C est une constante déterminée par la condition de normalisation (5) :
1
C
=
r
{j}
e −bE r
(11)
En physique statistique, on appelle la quantité
1
C
la fonction de partition du système.
Nous la noterons par le symbole Z :
Z =
r
{j}
e −bE r
(12)
On peut alors écrire :
P r{j} =
1
Z
e −bE r
(13)
P r{j} est la probabilité d’obtenir le micro-état r{j}, d’énergie E r , lorsque le système S
est en équilibre statistique avec le thermostat T . Un ensemble canonique est une collection de systèmes en équilibre statistique avec un thermostat à la température T. Chacun
d’entre eux est une réplique de S au niveau macroscopique et obéit à la loi de probabilité
(13). Le terme e −bE r se nomme facteur de Boltzmann et la distribution (13) s’appelle
parfois distribution de Gibbs. Il est important de rappeler que la notion d’ensemble permet de calculer la valeur moyenne des grandeurs macroscopiques comme une moyenne
prise sur l’ensemble des systèmes à un instant donné, plutôt que par une moyenne dans
le temps de ces mêmes grandeurs pour un système particulier (hypothèse ergodique).
L’équation (13) donne la probabilité de trouver le système S dans un micro-état particulier r{j} d’énergie E r . Si g r est la dégénérescence du niveau d’énergie E r , la probabilité
de trouver S avec une énergie E r est égale à :
P(E r ) =
1
Z
{j}
e −bE r =
g r
Z
e −bE r
(14)
Nous avons supposé jusqu’ici que le spectre en énergie du système est discret. S’il est
continu, ou si les niveaux sont tellement proches les uns des autres qu’ils apparaissent
comme continus au niveau macroscopique, la probabilité d’observer une énergie comprise entre E et E + dE (dE E) est égale à :
P(E) =
V(E)
Z
e −bE
(15)
où V(E) est le nombre de micro-états compris entre E et E + dE. Si S est un système
macroscopique normal, V(E) croît fortement, alors que e −bE est une fonction décroissante. Le produit V(E)e −bE est alors une fonction fortement piquée à la valeur E = ˜
E.
Les fluctuations de P(E) autour de P( ˜
E) seront d’autant plus faibles que le nombre de
degrés de liberté du système est plus grand. Nous évaluerons ces fluctuations plus loin
et nous verrons que la largeur relative de la distribution en énergie varie comme
1
√
N
, où
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
107
où C est une constante déterminée par la condition de normalisation (5) :
1
C
=
r
{j}
e −bE r
(11)
En physique statistique, on appelle la quantité
1
C
la fonction de partition du système.
Nous la noterons par le symbole Z :
Z =
r
{j}
e −bE r
(12)
On peut alors écrire :
P r{j} =
1
Z
e −bE r
(13)
P r{j} est la probabilité d’obtenir le micro-état r{j}, d’énergie E r , lorsque le système S
est en équilibre statistique avec le thermostat T . Un ensemble canonique est une collection de systèmes en équilibre statistique avec un thermostat à la température T. Chacun
d’entre eux est une réplique de S au niveau macroscopique et obéit à la loi de probabilité
(13). Le terme e −bE r se nomme facteur de Boltzmann et la distribution (13) s’appelle
parfois distribution de Gibbs. Il est important de rappeler que la notion d’ensemble permet de calculer la valeur moyenne des grandeurs macroscopiques comme une moyenne
prise sur l’ensemble des systèmes à un instant donné, plutôt que par une moyenne dans
le temps de ces mêmes grandeurs pour un système particulier (hypothèse ergodique).
L’équation (13) donne la probabilité de trouver le système S dans un micro-état particulier r{j} d’énergie E r . Si g r est la dégénérescence du niveau d’énergie E r , la probabilité
de trouver S avec une énergie E r est égale à :
P(E r ) =
1
Z
{j}
e −bE r =
g r
Z
e −bE r
(14)
Nous avons supposé jusqu’ici que le spectre en énergie du système est discret. S’il est
continu, ou si les niveaux sont tellement proches les uns des autres qu’ils apparaissent
comme continus au niveau macroscopique, la probabilité d’observer une énergie comprise entre E et E + dE (dE E) est égale à :
P(E) =
V(E)
Z
e −bE
(15)
où V(E) est le nombre de micro-états compris entre E et E + dE. Si S est un système
macroscopique normal, V(E) croît fortement, alors que e −bE est une fonction décroissante. Le produit V(E)e −bE est alors une fonction fortement piquée à la valeur E = ˜
E.
Les fluctuations de P(E) autour de P( ˜
E) seront d’autant plus faibles que le nombre de
degrés de liberté du système est plus grand. Nous évaluerons ces fluctuations plus loin
et nous verrons que la largeur relative de la distribution en énergie varie comme
1
√
N
, où
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.