102
Physique statistique
e) En déduire l’expression de < H > en fonction de la température T du système. Conclusions.
II. On considère un oscillateur harmonique à trois dimensions d’énergie fixée comprise entre E
et E + dE. La fonction H associée à l’oscillateur est définie par la relation :
H(q, p) =
1
2m
3
i=1
p
2
i +
K
2
3
i=1
q
2
i
Sans refaire la démonstration de I, utiliser les principales étapes du raisonnement pour calculer
dans le cas de l’oscillateur harmonique. Conclusions.
3. Oscillateurs harmoniques classiques et quantiques
On considère un système constitué de N oscillateurs harmoniques à une dimension, indépendants
et identiques. Le halmitonien du système est :
H =
N
i=1
p
2
i
2m
+
1
2
mv
2 q
2
i
1- On suppose que ces oscillateurs sont classiques. On désigne par V(E) le volume occupé par
les états d’énergie E dans l’espace des phases (de dimension à préciser). Exprimer V(E)
au moyen de la constante C 2N , volume de l’hypersphère de rayon unité dans cet espace. Pour
mémoire : C 2N = p
N /(N!).
2- En faisant l’hypothèse semi-classique, selon laquelle un état quantique occupe une cellule
de volume h
N de l’espace des phases, calculer le nombre, N(E), d’états quantiques d’énergie
inférieure à E puis la densité d’états quantiques r(E).
3- On suppose maintenant que les N oscillateurs sont quantiques. En utilisant l’équation 4 du
chapitre 2, calculer le nombre d’états accessibles au système d’énergie E. Dans ce calcul, on
peut raisonner comme dans l’exercice 9 du chapitre 2.
4- Calculer la densité d’états quantique du système. Montrer que dans la limite E N v, on
retrouve le résultat semi-classique.
4. Polymère et gaz parfait
Un modèle de polymère. On modélise un polymère par un ensemble de N segments (N 1)
attachés bout à bout. Chaque segment peut être, soit déplié (longueur l a , énergie ´ a ), soit replié
(longueur l b < l a , d’énergie 0 < ´ b < ´ a ). On note n a le nombre de segments dépliés et n b le
nombre de segments repliés.
1- a) Exprimer le nombre de microétats d’énergie E donnée. En déduire l’entropie microcanonique S
∗ . Que vaut S
∗ lorsque n a = 0 et n b = N ?
b) Donner l’expression des énergies maximale (E max ) et minimale (E min ) du système. Exprimer l’entropie en fonction de E, E min et E max . On supposera pour cela que n a 1 et n b 1 et
on utilisera la formule de Stirling (annexe A3.1). Tracer l’allure de S
∗ en fonction de E.
c) Calculer la température microcanonique T
∗ du polymère. Tracer son allure en fonction
de E.
Physique statistique
e) En déduire l’expression de < H > en fonction de la température T du système. Conclusions.
II. On considère un oscillateur harmonique à trois dimensions d’énergie fixée comprise entre E
et E + dE. La fonction H associée à l’oscillateur est définie par la relation :
H(q, p) =
1
2m
3
i=1
p
2
i +
K
2
3
i=1
q
2
i
Sans refaire la démonstration de I, utiliser les principales étapes du raisonnement pour calculer
3. Oscillateurs harmoniques classiques et quantiques
On considère un système constitué de N oscillateurs harmoniques à une dimension, indépendants
et identiques. Le halmitonien du système est :
H =
N
i=1
p
2
i
2m
+
1
2
mv
2 q
2
i
1- On suppose que ces oscillateurs sont classiques. On désigne par V(E) le volume occupé par
les états d’énergie E dans l’espace des phases (de dimension à préciser). Exprimer V(E)
au moyen de la constante C 2N , volume de l’hypersphère de rayon unité dans cet espace. Pour
mémoire : C 2N = p
N /(N!).
2- En faisant l’hypothèse semi-classique, selon laquelle un état quantique occupe une cellule
de volume h
N de l’espace des phases, calculer le nombre, N(E), d’états quantiques d’énergie
inférieure à E puis la densité d’états quantiques r(E).
3- On suppose maintenant que les N oscillateurs sont quantiques. En utilisant l’équation 4 du
chapitre 2, calculer le nombre d’états accessibles au système d’énergie E. Dans ce calcul, on
peut raisonner comme dans l’exercice 9 du chapitre 2.
4- Calculer la densité d’états quantique du système. Montrer que dans la limite E N v, on
retrouve le résultat semi-classique.
4. Polymère et gaz parfait
Un modèle de polymère. On modélise un polymère par un ensemble de N segments (N 1)
attachés bout à bout. Chaque segment peut être, soit déplié (longueur l a , énergie ´ a ), soit replié
(longueur l b < l a , d’énergie 0 < ´ b < ´ a ). On note n a le nombre de segments dépliés et n b le
nombre de segments repliés.
1- a) Exprimer le nombre de microétats d’énergie E donnée. En déduire l’entropie microcanonique S
∗ . Que vaut S
∗ lorsque n a = 0 et n b = N ?
b) Donner l’expression des énergies maximale (E max ) et minimale (E min ) du système. Exprimer l’entropie en fonction de E, E min et E max . On supposera pour cela que n a 1 et n b 1 et
on utilisera la formule de Stirling (annexe A3.1). Tracer l’allure de S
∗ en fonction de E.
c) Calculer la température microcanonique T
∗ du polymère. Tracer son allure en fonction
de E.