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Annexe B : Op´ erateurs en coordonn´ ees curvilignes orthogonales
Quelques identit´ es vectorielles et tensorielles
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
grad f ≡ ∇ f
div V ≡ ∇ · V
rot V ≡ ∇ × V
Δ f ≡ ∇
2 f
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∇
2 f = ∇ · ∇ f
∇
2 V = ∇ · ∇V
∇ · ∇ × V = 0
∇ × ∇ f = 0
∇ × ∇ × V = ∇(∇ · V) − ∇
2 V
∇ · ( f V) = f ∇ · V + V · ∇ f
∇ · ( f ∇V) = f ∇ · (∇V) + ∇V ∇ f
∇ × ( f V) = f ∇ × V + ∇ f × V
V · ∇V = ∇
� | V | 2
2
�
− V × ∇ × V = ∇ · (V ⊗ V) − V ∇ · V
(∇V) V = ∇
� | V | 2
2
�
+ (∇ × V) × V
∇ × (V × W) = (W · ∇) V − W (∇ · V) − (V · ∇) W + V (∇ · W)
∇ · (V × W) = W · ∇ × V − V · ∇ × W
∇ · (V ⊗ W) = V∇ · W + (∇V) W
∇ ( f A) = f ∇A + A ⊗ ∇ f
∇ · ( f A) = f ∇ · A + A ∇ f
V · ∇V = Ω × V +
1
2
∇
�
| V |
2
�
∇ × (V × W) = (W · ∇) V − (V · ∇) W + (∇ · W) V − (∇ · V) W
∇ × (V · ∇V) = (V · ∇) Ω − (Ω · ∇) V + (∇ · V) Ω