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Annexe B : Op´ erateurs en coordonn´ ees curvilignes orthogonales
Syst` eme de coordonn´ ees sph´ eriques
Divergence de la vitesse
∇ · V =
1
r 2
∂
∂ r
� r
2 V r
� +
1
r sin θ
∂ (sin θ V θ )
∂ θ
+
1
r sin θ
∂V ϕ
∂ ϕ
Gradient de la vitesse
∂V r
∂ r
1
r
∂V r
∂ θ −
V θ
r
1
r sin θ
∂V r
∂ ϕ −
V θ
r
∂V θ
∂ r
1
r
∂V θ
∂ θ +
V r
r
1
r sin θ
∂V θ
∂ ϕ −
V ϕ cotgθ
r
∂V ϕ
∂ r
1
r
∂V ϕ
∂ θ
1
r sin θ
∂V ϕ
∂ ϕ +
V r
r +
V θ cotgθ
r
Rotationnel
∇ × V =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1
r sin θ
∂
�
sin θ V ϕ
�
∂ θ
−
1
r sin θ
∂V θ
∂ ϕ
1
r sin θ
∂V r
∂ ϕ
−
1
r
∂
∂ r
�
r V ϕ
�
1
r
∂
∂ r
(r V θ ) −
1
r
∂V r
∂ θ
Laplacien de la vitesse
∇
2
r V =
1
r 2
∂
∂ r
�
r
2 ∂V r
∂ r
�
+
1
r 2 sin θ
∂
∂ θ
�
sin θ
∂V r
∂ θ
�
+
1
r 2 sin
2
θ
∂ 2 V r
∂ ϕ 2
−
2V r
r 2 −
2
r 2
∂V θ
∂ θ
−
2V θ cotgθ
r 2
−
2
r 2 sin θ
∂V ϕ
∂ ϕ
∇
2
θ V =
1
r 2
∂
∂ r
�
r
2 ∂V θ
∂ r
�
+
1
r 2 sin θ
∂
∂ θ
�
sin θ
∂V θ
∂ θ
�
+
1
r 2 sin
2
θ
∂ 2 V θ
∂ ϕ 2
+
2
r 2
∂V r
∂ θ
−
V θ
r 2 sin
2
θ
−
2 cos θ
r 2 sin
2
θ
∂V ϕ
∂ ϕ
∇
2
ϕ V =
1
r 2
∂
∂ r
�
r
2 ∂V ϕ
∂ r
�
+
1
r 2 sin θ
∂
∂ θ
�
sin θ
∂V ϕ
∂ θ
�
+
1
r 2 sin
2
θ
∂ 2 V ϕ
∂ ϕ 2
−
V ϕ
r 2 sin
2
θ
+
2
r 2 sin θ
∂V r
∂ ϕ
+
2 cos θ
r 2 sin
2
θ
∂V θ
∂ ϕ