298
K. A. Rybakov
= E
T
i 1
P
−1 E i 2 · E
T
i 3
P
−1 E i 4 = C i 1 i 2 C i 3 i 4 ,
E
T
i 1
Λ(V E i 2 )P
−1
(V E i 3 )P
−1 E i 4 = 1 i 1 E
T
i 2
P
−1
(V E i 3 )P
−1 E i 4 = C i 1 C i 2 i 3 i 4 ,
E
T
i 1
P
−1
(V E i 2 )Λ(V E i 3 )ΛE i 4 = 1 i 4 E
T
i 1
P
−1
(V E i 2 )E i 3
= 1 i 3 1 i 4 E
T
i 1
P
−1 E i 2 = C i 1 i 2 C i 3 C i 4 ,
E
T
i 1
Λ(V E i 2 )P
−1
(V E i 3 )ΛE i 4 = 1 i 1 1 i 4 E
T
i 2
P
−1 E i 3 = C i 1 C i 2 i 3 C i 4 ,
E
T
i 1
Λ(V E i 2 )Λ(V E i 3 )P
−1 E i 4 = 1 i 1 E
T
i 2
Λ(V E i 3 )P
−1 E i 4
= 1 i 1 1 i 1 E
T
i 3
P
−1 E i 4 = C i 1 C i 2 C i 3 i 4 ,
E
T
i 1
Λ(V E i 2 )Λ(V E i 3 )ΛE i 4 = 1 i 1 1
T
(V E i 2 )1 · 1
T
(V E i 3 )1 i 4 1 = C i 1 C i 2 C i 3 C i 4 ,
i.e.,
C i 4 i 3 i 2 i 1 = −C i 1 i 2 i 3 i 4 + C i 1 i 2 i 3 C i 4 + C i 1 i 2 C i 3 i 4 + C i 1 C i 2 i 3 i 4
− C i 1 i 2 C i 3 C i 4 − C i 1 C i 2 i 3 C i 4 − C i 1 C i 2 C i 3 i 4 + C i 1 C i 2 C i 3 C i 4 .
Summing up by i 1 , i 2 , i 3 , i 4 the products of random values ζ
( j 1 )
i 1
ζ
( j 2 )
i 2
ζ
( j 3 )
i 3
ζ
( j 4 )
i 4
and
both the left-hand side and the right-hand side of the above relation for expansion
coefficients, we get the following relation:
I
∗( j 1 j 2 j 3 j 4 )
h
= −I
∗( j 4 j 3 j 2 j 1 )
h
+ I
∗( j 4 )
h
I
∗( j 3 j 2 j 1 )
h
+ I
∗( j 4 j 3 )
h
I
∗( j 2 j 1 )
h
+ I
∗( j 4 j 3 j 2 )
h
I
∗( j 1 )
h
− I
∗( j 4 )
h
I
∗( j 3 )
h
I
∗( j 2 j 1 )
h
− I
∗( j 4 )
h
I
∗( j 3 j 2 )
h
I
∗( j 1 )
h
− I
∗( j 4 j 3 )
h
I
∗( j 2 )
h
I
∗( j 1 )
h
+ I
∗( j 4 )
h
I
∗( j 3 )
h
I
∗( j 2 )
h
I
∗( j 1 )
h
.
Further, consider the multiplicity k = 5:
C i 5 i 4 i 3 i 2 i 1 = E
T
i 5
P
−1
(V E i 4 )P
−1
(V E i 3 )P
−1
(V E i 2 )P
−1 E i 1 ,
C i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 = E
T
i 1
P
−1
(V E i 2 )P
−1
(V E i 3 )P
−1
(V E i 4 )P
−1 E i 5 .
Similarly, we can write relations for expansion coefficients as
C i 5 i 4 i 3 i 2 i 1 = C i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 − C i 1 i 2 i 3 i 4 C i 5 − C i 1 i 2 i 3 C i 4 i 5 − C i 1 i 2 C i 3 i 4 i 5 − C i 1 C i 2 i 3 i 4 i 5
+ C i 1 i 2 i 3 C i 4 C i 5 + C i 1 C i 2 i 3 i 4 C i 5 + C i 1 C i 2 C i 3 i 4 i 5 + C i 1 i 2 C i 3 i 4 C i 5
+ C i 1 i 2 C i 3 C i 4 i 5 + C i 1 C i 2 i 3 C i 4 i 5 − C i 1 i 2 C i 3 C i 4 C i 5 − C i 1 C i 2 i 3 C i 4 C i 5
− C i 1 C i 2 C i 3 i 4 C i 5 − C i 1 C i 2 C i 3 C i 4 i 5 + C i 1 C i 2 C i 3 C i 4 C i 5 .
Summing up by i 1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 the products of random values
ζ
( j 1 )
i 1
ζ
( j 2 )
i 2
ζ
( j 3 )
i 3
ζ
( j 4 )
i 4
ζ
( j 5 )
i 5
and both the left-hand side and the right-hand side of
the above relation for expansion coefficients, we obtain:
I
∗( j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 )
h
= I
∗( j 5 j 4 j 3 j 2 j 1 )
h
− I
∗( j 5 )
h
I
∗( j 4 j 3 j 2 j 1 )
h
− I
∗( j 5 j 4 )
h
I
∗( j 3 j 2 j 1 )
h
K. A. Rybakov
= E
T
i 1
P
−1 E i 2 · E
T
i 3
P
−1 E i 4 = C i 1 i 2 C i 3 i 4 ,
E
T
i 1
Λ(V E i 2 )P
−1
(V E i 3 )P
−1 E i 4 = 1 i 1 E
T
i 2
P
−1
(V E i 3 )P
−1 E i 4 = C i 1 C i 2 i 3 i 4 ,
E
T
i 1
P
−1
(V E i 2 )Λ(V E i 3 )ΛE i 4 = 1 i 4 E
T
i 1
P
−1
(V E i 2 )E i 3
= 1 i 3 1 i 4 E
T
i 1
P
−1 E i 2 = C i 1 i 2 C i 3 C i 4 ,
E
T
i 1
Λ(V E i 2 )P
−1
(V E i 3 )ΛE i 4 = 1 i 1 1 i 4 E
T
i 2
P
−1 E i 3 = C i 1 C i 2 i 3 C i 4 ,
E
T
i 1
Λ(V E i 2 )Λ(V E i 3 )P
−1 E i 4 = 1 i 1 E
T
i 2
Λ(V E i 3 )P
−1 E i 4
= 1 i 1 1 i 1 E
T
i 3
P
−1 E i 4 = C i 1 C i 2 C i 3 i 4 ,
E
T
i 1
Λ(V E i 2 )Λ(V E i 3 )ΛE i 4 = 1 i 1 1
T
(V E i 2 )1 · 1
T
(V E i 3 )1 i 4 1 = C i 1 C i 2 C i 3 C i 4 ,
i.e.,
C i 4 i 3 i 2 i 1 = −C i 1 i 2 i 3 i 4 + C i 1 i 2 i 3 C i 4 + C i 1 i 2 C i 3 i 4 + C i 1 C i 2 i 3 i 4
− C i 1 i 2 C i 3 C i 4 − C i 1 C i 2 i 3 C i 4 − C i 1 C i 2 C i 3 i 4 + C i 1 C i 2 C i 3 C i 4 .
Summing up by i 1 , i 2 , i 3 , i 4 the products of random values ζ
( j 1 )
i 1
ζ
( j 2 )
i 2
ζ
( j 3 )
i 3
ζ
( j 4 )
i 4
and
both the left-hand side and the right-hand side of the above relation for expansion
coefficients, we get the following relation:
I
∗( j 1 j 2 j 3 j 4 )
h
= −I
∗( j 4 j 3 j 2 j 1 )
h
+ I
∗( j 4 )
h
I
∗( j 3 j 2 j 1 )
h
+ I
∗( j 4 j 3 )
h
I
∗( j 2 j 1 )
h
+ I
∗( j 4 j 3 j 2 )
h
I
∗( j 1 )
h
− I
∗( j 4 )
h
I
∗( j 3 )
h
I
∗( j 2 j 1 )
h
− I
∗( j 4 )
h
I
∗( j 3 j 2 )
h
I
∗( j 1 )
h
− I
∗( j 4 j 3 )
h
I
∗( j 2 )
h
I
∗( j 1 )
h
+ I
∗( j 4 )
h
I
∗( j 3 )
h
I
∗( j 2 )
h
I
∗( j 1 )
h
.
Further, consider the multiplicity k = 5:
C i 5 i 4 i 3 i 2 i 1 = E
T
i 5
P
−1
(V E i 4 )P
−1
(V E i 3 )P
−1
(V E i 2 )P
−1 E i 1 ,
C i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 = E
T
i 1
P
−1
(V E i 2 )P
−1
(V E i 3 )P
−1
(V E i 4 )P
−1 E i 5 .
Similarly, we can write relations for expansion coefficients as
C i 5 i 4 i 3 i 2 i 1 = C i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 − C i 1 i 2 i 3 i 4 C i 5 − C i 1 i 2 i 3 C i 4 i 5 − C i 1 i 2 C i 3 i 4 i 5 − C i 1 C i 2 i 3 i 4 i 5
+ C i 1 i 2 i 3 C i 4 C i 5 + C i 1 C i 2 i 3 i 4 C i 5 + C i 1 C i 2 C i 3 i 4 i 5 + C i 1 i 2 C i 3 i 4 C i 5
+ C i 1 i 2 C i 3 C i 4 i 5 + C i 1 C i 2 i 3 C i 4 i 5 − C i 1 i 2 C i 3 C i 4 C i 5 − C i 1 C i 2 i 3 C i 4 C i 5
− C i 1 C i 2 C i 3 i 4 C i 5 − C i 1 C i 2 C i 3 C i 4 i 5 + C i 1 C i 2 C i 3 C i 4 C i 5 .
Summing up by i 1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 the products of random values
ζ
( j 1 )
i 1
ζ
( j 2 )
i 2
ζ
( j 3 )
i 3
ζ
( j 4 )
i 4
ζ
( j 5 )
i 5
and both the left-hand side and the right-hand side of
the above relation for expansion coefficients, we obtain:
I
∗( j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 )
h
= I
∗( j 5 j 4 j 3 j 2 j 1 )
h
− I
∗( j 5 )
h
I
∗( j 4 j 3 j 2 j 1 )
h
− I
∗( j 5 j 4 )
h
I
∗( j 3 j 2 j 1 )
h