ψ
n
ð Þ
l
D
ψ
n
ð Þ
l
E
¼ ψ
n
ð Þ
nÀ1 b
{
nÀ1 Á Á Áb
{
lþ2 b
{
lþ1
D
b lþ1 b lþ2 Á Á Áb nÀ1 ψ
n
ð Þ
nÀ1
E
¼ ψ
n
ð Þ
nÀ1 b
{
nÀ1 Á Á Áb
{
lþ2 b
{
lþ1 b lþ1
b lþ2 Á Á Áb nÀ1 ψ
n
ð Þ
nÀ1
D
E
¼ ψ
n
ð Þ
nÀ1 b
{
nÀ1 Á Á Áb
{
lþ2 b lþ2 b
{
lþ2 þ ε
lþ1
ð
Þ
À ε
l
ð Þ
h
i
b lþ2 Á Á Áb nÀ1 ψ
n
ð Þ
nÀ1
D
E
¼ ψ
n
ð Þ
nÀ1
D
b
{
nÀ1 Á Á Áb
{
lþ2 b lþ2 b
{
lþ2 b lþ2
Á Á Áb nÀ1 ψ
n
ð Þ
nÀ1
E
þ ε
lþ1
ð
Þ
À ε
l
ð Þ
h
i
ψ
n
ð Þ
nÀ1 b
{
nÀ1 Á Á Áb
{
lþ2 b lþ2 Á Á Áb nÀ1 ψ
n
ð Þ
nÀ1
D
E
¼ ψ
n
ð Þ
nÀ1 b
{
nÀ1
D
Á Á Áb
{
lþ2 b lþ2 b
{
lþ2 b lþ2
Á Á Áb nÀ1 ψ
n
ð Þ
nÀ1
E
þ ε
lþ1
ð
Þ
À ε
l
ð Þ
h
i
ψ
n
ð Þ
lþ1
D
ψ
n
ð Þ
lþ1
E
:
ð3:270Þ
In the next step, using b
{
lþ2 b lþ2 ¼ b lþ3 b
{
lþ3 þ ε
lþ2
ð
Þ
À ε
lþ1
ð
Þ , we have
ψ
n
ð Þ
l
D
ψ
n
ð Þ
l
E
¼ ψ
n
ð Þ
nÀ1 b
{
nÀ1 Á Á Áb
{
lþ2 b lþ2 b lþ3 b
{
lþ3 b lþ3 Á Á Áb nÀ1 ψ
n
ð Þ
nÀ1
D
E
þ ε
lþ1
ð
Þ
À ε
l
ð Þ
h
i
ψ
n
ð Þ
lþ1
D
ψ
n
ð Þ
lþ1
E
þ ε
lþ2
ð
Þ
À ε
lþ1
ð
Þ
h
i
ψ
n
ð Þ
lþ1
D
ψ
n
ð Þ
lþ1
E
:
ð3:271Þ
Thus, we find that in the first term the index number of b
{
lþ3 has been increased by
one with itself transferred toward the right side. On the other hand, we notice that
with the second and third terms, ε
lþ1
ð
Þ
ψ
n
ð Þ
lþ1
D
ψ
n
ð Þ
lþ1
E
cancels out. Repeating the above
processes, we reach a following expression:
ψ
n
ð Þ
l
D
ψ
n
ð Þ
l
E
¼ ψ
n
ð Þ
nÀ1 b
{
nÀ1 Á Á Áb
{
lþ2 b lþ2 Á Á Áb nÀ1 b n b
{
n
À
Á ψ
n
ð Þ
nÀ1
D
E
þ ε
nÀ1
ð
Þ
À ε
nÀ2
ð
Þ
h
i
ψ
n
ð Þ
lþ1
D
ψ
n
ð Þ
lþ1
E
þ ε
nÀ2
ð
Þ
À ε
nÀ3
ð
Þ
h
i
ψ
n
ð Þ
lþ1
D
ψ
n
ð Þ
lþ1
E
þ Á Á Á
þ ε
lþ2
ð
Þ
À ε
lþ1
ð
Þ
h
i
ψ
n
ð Þ
lþ1
D
ψ
n
ð Þ
lþ1
E
þ ε
lþ1
ð
Þ
À ε
l
ð Þ
h
i
ψ
n
ð Þ
lþ1
D
ψ
n
ð Þ
lþ1
E
¼ ε
nÀ1
ð
Þ
À ε
l
ð Þ
h
i
ψ
n
ð Þ
lþ1
D
ψ
n
ð Þ
lþ1
E
:
ð3:272Þ
In (3.272), the first term of RHS vanishes because of (3.251); the subsequent
terms produce ψ
n
ð Þ
lþ1
D
ψ
n
ð Þ
lþ1
E
whose coefficients have cancelled out one another
except for [ε
(n À 1)
À ε
(l ) ].
Meanwhile, from assumption of the mathematical induction we have
114
3 Hydrogen-Like Atoms