Changements de référentiels
55
− → a M/R = ao − → ur ⇒ − → v M/R = aot − → ur ⇒
− →
OM = r − → ur =
1
2
aot
2− → ur ⇒ r(t) =
1
2
aot
2 .
l = 20 cm parcourue en t = 60 s⇒ ao =
2l
t 2 =
0,40
3600
= 1, 11.10
−4 m.s
−2 = 0, 11 mm.s
−2 .
2) Étude dans R(O, − → ur , − → uu )
˙
u = v ⇒ u = vt +
p
2
(à t = 0, l’aiguille est suivant l’axe Oy) et r(t) =
1
2
aot
2 . L’équation de la
trajectoire est :
r(u) =
1
2
ao
v 2 (u −
p
2
)
2 ⇒ r(u) = 3, 38.10
−4 (u −
p
2
)
2 : équation d’une spirale.
Loi de composition des vitesses : − → v M/R = − → v M/R + − → ve .
− → ve =
− →
V ∧
− →
OM = rv − → uu =
1
2
aovt
2− → uu
⇒ − → v M/R = aot − → ur +
1
2
aovt
2− → uu = 0, 11t − → ur − 0, 576.10
−2 t
2− → uu (mm.s
−1 )
Loi de composition des accélérations : − → a M/R = − → a M/R + − → a e + − → ac .
− → ac = 2
− →
V ∧ − → v M/R = 2vaot − → uu .
− → a e =
− →
V ∧ (
− →
V ∧
− →
OM) = −v
2 r − → ur = −
1
2
aov
2 t
2− → ur .
− → a M/R = (ao −
1
2
aov
2 t
2 ) − → ur + 2vaot − → uu .
6 La roue de rayon a roule sans glisser. On a donc OI = aw et
− →
OC =
− →
OI +
− →
IC = aw − → u x + a − → u z
La vitesse du point C est donc, dans le référentiel terrestre :
− →
V (C) =
− →
Vo = a˙ w − → u x = Vo − → u x ⇒ ˙
w =
Vo
a
.
1)
− →
OA =
− →
OC +
− →
CA = (aw − → u x + a − → u z) + (−a sin w − → u x − a cos w − → u z).
− →
OA = a
ˆ
(w − sin w) − → u x + (1 − cos w) − → u z
˜
.
2)
− →
V = a˙ w
ˆ
(1 − cos w) − → u x + sin w − → u z
˜
= Vo
ˆ
(1 − cos w) − → u x + sin w − → u z
˜
.
‚
‚
‚
− →
V
‚
‚
‚ =
√
2Vo
√
1 − cos w ⇒
‚
‚
‚
− →
V
‚
‚
‚ = 0 pour w = 2np (n entier). Chaque fois que le point A
touche le sol (A confondu avec I), sa vitesse est nulle. Elle est maximale quand le point est à
l’opposé de I par rapport à C.
3)
− →
V = ˙
w − → u y et
− →
IA =
− →
IC+
− →
CA = a − → u z+(−a sin w − → u x−a cos w − → u z) = −a sin w − → u x+a(1−cos w) − → u z.
− →
V ∧
− →
IA = a˙ w
ˆ
(1 − cos w) − → u x + sin w − → u z
˜
=
− →
V . À l’instant considéré, le point A a un mouvement circulaire autour du point I avec un vecteur vitesse angulaire
− →
V .
4)
− →
V = Vo − → u x + Vo
ˆ − cos w − → u x + sin w − → u z
˜
=
− →
Vo + Vo − → u avec − → u =
ˆ − cos w − → u x + sin w − → u z
˜
.
Ce vecteur − → u est un vecteur tangent à la roue (figure 2.19). En effet, on a :
− →
CA. − → u = 0. Le
vecteur vitesse peut donc se décomposer en deux vecteurs de même module (Vo), l’un parallèle
à Ox (
− →
Vo ) et l’autre tangent à la roue (Vo − → u ).
− → a = Vo ˙
w(sin w − → u x + cos w − → u z) = −(
Vo
a
)
2 − →
CA. Ce vecteur est dirigé de A vers C et − → a =
V
2
o
a
.
5) Loi de composition des vitesses :
− →
V =
− →
V
+
− →
Ve .
Dans le référentiel lié au vélo, repère de centre C, A décrit un cercle de rayon a d’un mouvement
uniforme. On a donc :
− →
V
=
− →
V ∧
− →
CA = ˙
w − → u y ∧ (−a sin w − → u x − a cos w − → u z) = Vo
ˆ − cos w − → u x + sin w − → u z
˜
= Vo − → u .
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− → a M/R = ao − → ur ⇒ − → v M/R = aot − → ur ⇒
− →
OM = r − → ur =
1
2
aot
2− → ur ⇒ r(t) =
1
2
aot
2 .
l = 20 cm parcourue en t = 60 s⇒ ao =
2l
t 2 =
0,40
3600
= 1, 11.10
−4 m.s
−2 = 0, 11 mm.s
−2 .
2) Étude dans R(O, − → ur , − → uu )
˙
u = v ⇒ u = vt +
p
2
(à t = 0, l’aiguille est suivant l’axe Oy) et r(t) =
1
2
aot
2 . L’équation de la
trajectoire est :
r(u) =
1
2
ao
v 2 (u −
p
2
)
2 ⇒ r(u) = 3, 38.10
−4 (u −
p
2
)
2 : équation d’une spirale.
Loi de composition des vitesses : − → v M/R = − → v M/R + − → ve .
− → ve =
− →
V ∧
− →
OM = rv − → uu =
1
2
aovt
2− → uu
⇒ − → v M/R = aot − → ur +
1
2
aovt
2− → uu = 0, 11t − → ur − 0, 576.10
−2 t
2− → uu (mm.s
−1 )
Loi de composition des accélérations : − → a M/R = − → a M/R + − → a e + − → ac .
− → ac = 2
− →
V ∧ − → v M/R = 2vaot − → uu .
− → a e =
− →
V ∧ (
− →
V ∧
− →
OM) = −v
2 r − → ur = −
1
2
aov
2 t
2− → ur .
− → a M/R = (ao −
1
2
aov
2 t
2 ) − → ur + 2vaot − → uu .
6 La roue de rayon a roule sans glisser. On a donc OI = aw et
− →
OC =
− →
OI +
− →
IC = aw − → u x + a − → u z
La vitesse du point C est donc, dans le référentiel terrestre :
− →
V (C) =
− →
Vo = a˙ w − → u x = Vo − → u x ⇒ ˙
w =
Vo
a
.
1)
− →
OA =
− →
OC +
− →
CA = (aw − → u x + a − → u z) + (−a sin w − → u x − a cos w − → u z).
− →
OA = a
ˆ
(w − sin w) − → u x + (1 − cos w) − → u z
˜
.
2)
− →
V = a˙ w
ˆ
(1 − cos w) − → u x + sin w − → u z
˜
= Vo
ˆ
(1 − cos w) − → u x + sin w − → u z
˜
.
‚
‚
‚
− →
V
‚
‚
‚ =
√
2Vo
√
1 − cos w ⇒
‚
‚
‚
− →
V
‚
‚
‚ = 0 pour w = 2np (n entier). Chaque fois que le point A
touche le sol (A confondu avec I), sa vitesse est nulle. Elle est maximale quand le point est à
l’opposé de I par rapport à C.
3)
− →
V = ˙
w − → u y et
− →
IA =
− →
IC+
− →
CA = a − → u z+(−a sin w − → u x−a cos w − → u z) = −a sin w − → u x+a(1−cos w) − → u z.
− →
V ∧
− →
IA = a˙ w
ˆ
(1 − cos w) − → u x + sin w − → u z
˜
=
− →
V . À l’instant considéré, le point A a un mouvement circulaire autour du point I avec un vecteur vitesse angulaire
− →
V .
4)
− →
V = Vo − → u x + Vo
ˆ − cos w − → u x + sin w − → u z
˜
=
− →
Vo + Vo − → u avec − → u =
ˆ − cos w − → u x + sin w − → u z
˜
.
Ce vecteur − → u est un vecteur tangent à la roue (figure 2.19). En effet, on a :
− →
CA. − → u = 0. Le
vecteur vitesse peut donc se décomposer en deux vecteurs de même module (Vo), l’un parallèle
à Ox (
− →
Vo ) et l’autre tangent à la roue (Vo − → u ).
− → a = Vo ˙
w(sin w − → u x + cos w − → u z) = −(
Vo
a
)
2 − →
CA. Ce vecteur est dirigé de A vers C et − → a =
V
2
o
a
.
5) Loi de composition des vitesses :
− →
V =
− →
V
+
− →
Ve .
Dans le référentiel lié au vélo, repère de centre C, A décrit un cercle de rayon a d’un mouvement
uniforme. On a donc :
− →
V
=
− →
V ∧
− →
CA = ˙
w − → u y ∧ (−a sin w − → u x − a cos w − → u z) = Vo
ˆ − cos w − → u x + sin w − → u z
˜
= Vo − → u .