26
Mécanique du point
8 Rotation de 1200 tr.min
−1 ⇒ ˙
ao = 40p rad.s
−1 . Arrêt en 300 tr⇒ a1 = 600p. Accélération
angulaire constante ¨
a ⇒ ˙
a = ¨
at + ˙
ao et a =
1
2
¨
at
2 + ˙
aot ⇒ ¨
a =
˙
a−˙ ao
t
et a =
1
2
˙
a−˙ ao
t
t
2 + ˙
aot.
L’arrêt s’effectue pour :
a = a1 et ˙
a = 0 ⇒ a1 = −
1
2
˙
aot + ˙
aot =
1
2
˙
aot ⇒ t = 2
a1
˙
ao
= 2
600p
40p
= 30 s.
¨
a =
˙
a−˙ ao
t
= −
˙
ao
30
= −
4
3
p rad.s
−2 .
9 Un point C de la courroie se déplace avec une vitesse constante. La courroie ne glissant pas
sur les roues, on peut exprimer la vitesse du point lorsqu’il est en contact avec la roue de rayon
R1 (vc = R1vo) et lorsqu’il est en contact avec la roue de rayon R2 (vc = R2v2). On a donc
R1vo = R2v2 ⇒ v2 = vo
R 1
R 2
= 30 rad.s
−1 .
Sur les roues, le point C a un mouvement circulaire uniforme. L’accélération est donc normale
et centripète (vers le centre des roues) et a pour valeur :
Roue n
◦ 1 : a1 = R1v
2
o = 1620 rad.s
−2 . Roue n
◦ 2 : a2 = R2v
2
2 = a1
R 1
R 2
= 270 rad.s
−2 . Entre
les deux roues, le mouvement est rectiligne uniforme et l’accélération est donc nulle.
10 La vitesse d’ascension verticale vo étant constante, on peut écrire que le mouvement projeté
sur l’axe des z est rectiligne uniforme. On a :
d
2 z
d t 2 = 0;
d z
d t
= vo; z = vot (avec z = 0 pour t = 0).
Suivant l’axe des x, on a : vx =
d x
d t
=
z
t
= vo
t
t
et x = vo
t
2
2t
(le mouvement est uniformément
accéléré).
L’équation de la trajectoire est x =
z
2
2tvo
et correspond à une portion de parabole.
Le vecteur accélération est donné par − → a =
d
2 x
d t 2
− → u x +
d
2 z
d t 2
− → u y =
vo
t
− → u x.
Le vecteur vitesse est donné par − → v =
z
t
− → u x + vo − → u y. Le vecteur vitesse étant tangent à la
trajectoire, on en déduit l’expression du vecteur unitaire tangent :
− → ut =
− → v
− → v
= t(z
2 + v
2
o t
2 )
−1/2 (
z
t
− → u x + vo − → u y).
Le vecteur normal à la trajectoire se déduit de − → ut par :
− → ut . − → un = 0 ⇒ − → un = t(z
2 + v
2
o t
2 )
−1/2 (vo − → u x −
z
t
− → u y).
at = − → a . − → ut = t(z
2 + v
2
o t
2 )
−1/2 voz
t 2 = (z
2 + v
2
o t
2 )
−1/2 voz
t
.
an = − → a . − → un = (z
2 + v
2
o t
2 )
−1/2 v
2
o .
11
− →
OM = r − → ur ⇒
− →
V (M) = ˙
r − → ur + r ˙
u − → uu . M parcourt l’aiguille d’un mouvement uniforme avec la
vitesse Vo constante. On a donc ˙
r = Vo ⇒ r = Vot (à t = 0, r = 0) et ˙
u = v = −
p
30
rad.s
−1
(mouvement de l’aiguille des secondes : un tour en 60 secondes dans le sens inverse du sens
trigonométrique).
En 60 secondes la mouche effectue 20 cm. On a donc Vo =
20
60
=
1
3
cm.s
−1 .
− →
V (M) = Vo( − → ur −
p
30
t − → uu )
⇒
− →
V (t = 0) = Vo − → ur =
1
3
− → u y ;
− →
V (t = 15) = Vo( − → ur −
p
2
− → uu ) =
1
3
( − → u x −
p
2
− → u y).
Mécanique du point
8 Rotation de 1200 tr.min
−1 ⇒ ˙
ao = 40p rad.s
−1 . Arrêt en 300 tr⇒ a1 = 600p. Accélération
angulaire constante ¨
a ⇒ ˙
a = ¨
at + ˙
ao et a =
1
2
¨
at
2 + ˙
aot ⇒ ¨
a =
˙
a−˙ ao
t
et a =
1
2
˙
a−˙ ao
t
t
2 + ˙
aot.
L’arrêt s’effectue pour :
a = a1 et ˙
a = 0 ⇒ a1 = −
1
2
˙
aot + ˙
aot =
1
2
˙
aot ⇒ t = 2
a1
˙
ao
= 2
600p
40p
= 30 s.
¨
a =
˙
a−˙ ao
t
= −
˙
ao
30
= −
4
3
p rad.s
−2 .
9 Un point C de la courroie se déplace avec une vitesse constante. La courroie ne glissant pas
sur les roues, on peut exprimer la vitesse du point lorsqu’il est en contact avec la roue de rayon
R1 (vc = R1vo) et lorsqu’il est en contact avec la roue de rayon R2 (vc = R2v2). On a donc
R1vo = R2v2 ⇒ v2 = vo
R 1
R 2
= 30 rad.s
−1 .
Sur les roues, le point C a un mouvement circulaire uniforme. L’accélération est donc normale
et centripète (vers le centre des roues) et a pour valeur :
Roue n
◦ 1 : a1 = R1v
2
o = 1620 rad.s
−2 . Roue n
◦ 2 : a2 = R2v
2
2 = a1
R 1
R 2
= 270 rad.s
−2 . Entre
les deux roues, le mouvement est rectiligne uniforme et l’accélération est donc nulle.
10 La vitesse d’ascension verticale vo étant constante, on peut écrire que le mouvement projeté
sur l’axe des z est rectiligne uniforme. On a :
d
2 z
d t 2 = 0;
d z
d t
= vo; z = vot (avec z = 0 pour t = 0).
Suivant l’axe des x, on a : vx =
d x
d t
=
z
t
= vo
t
t
et x = vo
t
2
2t
(le mouvement est uniformément
accéléré).
L’équation de la trajectoire est x =
z
2
2tvo
et correspond à une portion de parabole.
Le vecteur accélération est donné par − → a =
d
2 x
d t 2
− → u x +
d
2 z
d t 2
− → u y =
vo
t
− → u x.
Le vecteur vitesse est donné par − → v =
z
t
− → u x + vo − → u y. Le vecteur vitesse étant tangent à la
trajectoire, on en déduit l’expression du vecteur unitaire tangent :
− → ut =
− → v
− → v
= t(z
2 + v
2
o t
2 )
−1/2 (
z
t
− → u x + vo − → u y).
Le vecteur normal à la trajectoire se déduit de − → ut par :
− → ut . − → un = 0 ⇒ − → un = t(z
2 + v
2
o t
2 )
−1/2 (vo − → u x −
z
t
− → u y).
at = − → a . − → ut = t(z
2 + v
2
o t
2 )
−1/2 voz
t 2 = (z
2 + v
2
o t
2 )
−1/2 voz
t
.
an = − → a . − → un = (z
2 + v
2
o t
2 )
−1/2 v
2
o .
11
− →
OM = r − → ur ⇒
− →
V (M) = ˙
r − → ur + r ˙
u − → uu . M parcourt l’aiguille d’un mouvement uniforme avec la
vitesse Vo constante. On a donc ˙
r = Vo ⇒ r = Vot (à t = 0, r = 0) et ˙
u = v = −
p
30
rad.s
−1
(mouvement de l’aiguille des secondes : un tour en 60 secondes dans le sens inverse du sens
trigonométrique).
En 60 secondes la mouche effectue 20 cm. On a donc Vo =
20
60
=
1
3
cm.s
−1 .
− →
V (M) = Vo( − → ur −
p
30
t − → uu )
⇒
− →
V (t = 0) = Vo − → ur =
1
3
− → u y ;
− →
V (t = 15) = Vo( − → ur −
p
2
− → uu ) =
1
3
( − → u x −
p
2
− → u y).