24
Mécanique du point
1) Date t :
− − →
NoN = vt − → u y,
−−→
N
o N
= v
t − → u x et leur distance est D =
‚
‚
‚
− − →
NN
‚
‚
‚ =
p
v 2 t 2 + (a − vt) 2 .
La dérivée
dD
dt
est égale à
1
2D
(2v
2 t − 2v(a − vt)) et s’annule pour tm =
av
v 2 +v 2 . À cet instant, la
distance est minimale et sa valeur est :
D(tm) =
h
v 2 v
2 a
2
(v 2 +v 2 ) 2 + (a −
av
2
(v 2 +v 2 )
)
2
i 1/2
=
av
√
v 2 +v 2 .
2) Soit u la direction prise par le navire N (figure 1.23b). On a alors :
− − →
NoN = (vt cos u) − → u x + (vt sin u) − → u y ;
−−→
N
o N
= v
t − → u x.
Les navires se croisent en N1 s’il existe un instant t pour lequel on a simultanément
vt cos u = v
t et vt sin u = a ⇒ cos u =
v
v
. N ne peut atteindre N
que si v > v
. La
direction qu’il doit prendre est donnée par : cos u =
v
v
et le croisement a lieu à l’instant
t1 =
a
v sin u
=
a
√
v 2 −v 2
.
2 Distance AD = d1 = x parcourue à la vitesse constante v. Temps t1 =
x
v
.
Distance DB = d2 =
p
(l − x) 2 + d 2 parcourue à la vitesse constante v/2. Temps
t2 =
2
√
(l−x) 2 +d 2
v
.
Temps mis pour aller de A à B : t = t1 + t2 =
1
v
(x + 2
p
(l − x) 2 + d 2 ). Ce temps est minimal
lorsque la dérivée s’annule, soit :
d t
d x
= 0 ⇒ 1 −
2(l−x)
√
(l−x) 2 +d 2
= 0 ⇒ x = l −
d
√
3
.
3 Repère : axe Ox dans la direction du mouvement du train et de la voyageuse ; origine O position
de la voyageuse lorsque le train démarre. À t = 0 il se trouve à D = 100 m de O.
Voyageuse : mouvement rectiligne uniforme d’équation horaire x = vt = 8t.
Train : mouvement rectiligne uniformément accéléré d’accélération a = 0, 5 m.s
−2 .
La vitesse horaire est vt = at = 0, 5t et l’équation horaire : xt =
1
2
at
2 + D = 0, 25t
2 + 100. La
voyageuse rejoint le train si pour une même date t on a : x = xt ⇒ 0, 25t
2 − 8t + 100 = 0.
Le discriminant D = −36 < 0 ⇒ pas de solution. La distance qui sépare la voyageuse et
le train est xt − x =
1
2
at
2 + D − vt. Cette distance est minimale quand sa dérivée s’annule
soit quand at − v = 0 ⇒ t =
v
a
. On a donc t = 8/0, 5 = 16 s et la distance minimale est
dm =
1
2
at
2 + D − vt = 36 m.
Pour D = 40 m, x = xt ⇒ 0, 25t
2 − 8t + 40 = 0. Le discriminant D = 24 > 0. Les solutions
sont :
t1 = 16 −
√
96 = 6, 2 s et la voyageuse a parcouru x1 = vt1 = 49, 6 m (le train a effectué 9, 6
m et sa vitesse est alors de 3, 1 m.s
−1 . La voyageuse est plus rapide et commence à remonter
le train.)
t2 = 16 +
√
96 = 25, 8 s et la voyageuse a parcouru x1 = vt1 = 206, 4 m (le train accélérant,
il deviendra plus rapide que la voyageuse et la dépassera si elle n’a pas pu monter en marche.
Elle a pour cela 19, 6 s.)
Distance minimale Dm pour que la voyageuse atteigne le train : x = xt ⇒ 0, 25t
2 − 8t + D = 0.
Le discriminant doit être positif ou nul soit 64 − D > 0 ⇒ Dm = 64 m. On a alors t = 16 s
et la distance parcourue est de x = 128 m. Le train a parcouru 28 m et sa vitesse est de 8
m.s
−1 = v.
Mécanique du point
1) Date t :
− − →
NoN = vt − → u y,
−−→
N
o N
= v
t − → u x et leur distance est D =
‚
‚
‚
− − →
NN
‚
‚
‚ =
p
v 2 t 2 + (a − vt) 2 .
La dérivée
dD
dt
est égale à
1
2D
(2v
2 t − 2v(a − vt)) et s’annule pour tm =
av
v 2 +v 2 . À cet instant, la
distance est minimale et sa valeur est :
D(tm) =
h
v 2 v
2 a
2
(v 2 +v 2 ) 2 + (a −
av
2
(v 2 +v 2 )
)
2
i 1/2
=
av
√
v 2 +v 2 .
2) Soit u la direction prise par le navire N (figure 1.23b). On a alors :
− − →
NoN = (vt cos u) − → u x + (vt sin u) − → u y ;
−−→
N
o N
= v
t − → u x.
Les navires se croisent en N1 s’il existe un instant t pour lequel on a simultanément
vt cos u = v
t et vt sin u = a ⇒ cos u =
v
v
. N ne peut atteindre N
que si v > v
. La
direction qu’il doit prendre est donnée par : cos u =
v
v
et le croisement a lieu à l’instant
t1 =
a
v sin u
=
a
√
v 2 −v 2
.
2 Distance AD = d1 = x parcourue à la vitesse constante v. Temps t1 =
x
v
.
Distance DB = d2 =
p
(l − x) 2 + d 2 parcourue à la vitesse constante v/2. Temps
t2 =
2
√
(l−x) 2 +d 2
v
.
Temps mis pour aller de A à B : t = t1 + t2 =
1
v
(x + 2
p
(l − x) 2 + d 2 ). Ce temps est minimal
lorsque la dérivée s’annule, soit :
d t
d x
= 0 ⇒ 1 −
2(l−x)
√
(l−x) 2 +d 2
= 0 ⇒ x = l −
d
√
3
.
3 Repère : axe Ox dans la direction du mouvement du train et de la voyageuse ; origine O position
de la voyageuse lorsque le train démarre. À t = 0 il se trouve à D = 100 m de O.
Voyageuse : mouvement rectiligne uniforme d’équation horaire x = vt = 8t.
Train : mouvement rectiligne uniformément accéléré d’accélération a = 0, 5 m.s
−2 .
La vitesse horaire est vt = at = 0, 5t et l’équation horaire : xt =
1
2
at
2 + D = 0, 25t
2 + 100. La
voyageuse rejoint le train si pour une même date t on a : x = xt ⇒ 0, 25t
2 − 8t + 100 = 0.
Le discriminant D = −36 < 0 ⇒ pas de solution. La distance qui sépare la voyageuse et
le train est xt − x =
1
2
at
2 + D − vt. Cette distance est minimale quand sa dérivée s’annule
soit quand at − v = 0 ⇒ t =
v
a
. On a donc t = 8/0, 5 = 16 s et la distance minimale est
dm =
1
2
at
2 + D − vt = 36 m.
Pour D = 40 m, x = xt ⇒ 0, 25t
2 − 8t + 40 = 0. Le discriminant D = 24 > 0. Les solutions
sont :
t1 = 16 −
√
96 = 6, 2 s et la voyageuse a parcouru x1 = vt1 = 49, 6 m (le train a effectué 9, 6
m et sa vitesse est alors de 3, 1 m.s
−1 . La voyageuse est plus rapide et commence à remonter
le train.)
t2 = 16 +
√
96 = 25, 8 s et la voyageuse a parcouru x1 = vt1 = 206, 4 m (le train accélérant,
il deviendra plus rapide que la voyageuse et la dépassera si elle n’a pas pu monter en marche.
Elle a pour cela 19, 6 s.)
Distance minimale Dm pour que la voyageuse atteigne le train : x = xt ⇒ 0, 25t
2 − 8t + D = 0.
Le discriminant doit être positif ou nul soit 64 − D > 0 ⇒ Dm = 64 m. On a alors t = 16 s
et la distance parcourue est de x = 128 m. Le train a parcouru 28 m et sa vitesse est de 8
m.s
−1 = v.