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Mécanique du point
8.3. Signification géométrique de l’intégrale définie
Considérons une fonction f dont le graphe est représenté sur la figure A1.24.
x
f(x)
a
b
x i
x i+1 =x i +dx
Figure A1.24 • Représentation schématique de l’intégrale.
Supposons que l’intervalle [a, b] sur lequel nous effectuons l’intégrale définie de la fonction f (x) soit découpé en N bandes de largeur dx. L’intégrale définie peut s’écrire :
b
a
f (x)dx =
N−1
i=0
xi+1
xi
f (x)dx
Sur chacun des intervalles de largeur dx, la fonction f (x) est comprise entre une valeur M
maximale et une valeur m minimale. Il en résulte que l’intégrale est bornée par la relation :
N−1
i=0
M i (x i+1 − x i )
b
a
f (x)dx
N−1
i=0
m i (x i+1 − x i )
Nous voyons facilement que les bornes supérieure et inférieure se rejoindront pour peu
que l’intervalle dx i = x i+1 − x i soit extrêmement petit quel que soit i. Pour cela, il suffit de faire tendre le nombre d’intervalles N vers l’infini. Il est ainsi possible de définir
géométriquement l’intégrale au sens de Rieman, par la relation limite suivante :
b
a
f (x)dx = lim
N→∞
N−1
i=0
f (x i )dx i
L’expression ci-dessus montre que pour calculer une intégrale, il suffit de sommer les aires
de tous les rectangles de hauteur f (x i ) et de largeur dx i quand N tend vers l’infini, soit
quand dx i tend vers 0.
9. INTÉGRALES VECTORIELLES
9.1. Champ de vecteurs
Soit (D) une région de l’espace et M(x, y, z) un point de cette région. Un champ de vecteurs est défini par la transformation suivante :
M(x, y, z) −→
− →
E (M) = E x
− →
i + E y
− →
j + E z
− →
k
Mécanique du point
8.3. Signification géométrique de l’intégrale définie
Considérons une fonction f dont le graphe est représenté sur la figure A1.24.
x
f(x)
a
b
x i
x i+1 =x i +dx
Figure A1.24 • Représentation schématique de l’intégrale.
Supposons que l’intervalle [a, b] sur lequel nous effectuons l’intégrale définie de la fonction f (x) soit découpé en N bandes de largeur dx. L’intégrale définie peut s’écrire :
b
a
f (x)dx =
N−1
i=0
xi+1
xi
f (x)dx
Sur chacun des intervalles de largeur dx, la fonction f (x) est comprise entre une valeur M
maximale et une valeur m minimale. Il en résulte que l’intégrale est bornée par la relation :
N−1
i=0
M i (x i+1 − x i )
b
a
f (x)dx
N−1
i=0
m i (x i+1 − x i )
Nous voyons facilement que les bornes supérieure et inférieure se rejoindront pour peu
que l’intervalle dx i = x i+1 − x i soit extrêmement petit quel que soit i. Pour cela, il suffit de faire tendre le nombre d’intervalles N vers l’infini. Il est ainsi possible de définir
géométriquement l’intégrale au sens de Rieman, par la relation limite suivante :
b
a
f (x)dx = lim
N→∞
N−1
i=0
f (x i )dx i
L’expression ci-dessus montre que pour calculer une intégrale, il suffit de sommer les aires
de tous les rectangles de hauteur f (x i ) et de largeur dx i quand N tend vers l’infini, soit
quand dx i tend vers 0.
9. INTÉGRALES VECTORIELLES
9.1. Champ de vecteurs
Soit (D) une région de l’espace et M(x, y, z) un point de cette région. Un champ de vecteurs est défini par la transformation suivante :
M(x, y, z) −→
− →
E (M) = E x
− →
i + E y
− →
j + E z
− →
k