Annexes
301
La quantité obtenue est un vecteur de composantes dx,dy,dz. Elle représente une variation
élémentaire quelconque du vecteur
−→
OM. Il est utile de remarquer que d
−→
OM représente un
déplacement élémentaire dans l’espace. Pour cette raison, la différentielle du vecteur
−→
OM
est notée d
−→
OM =d
− →
l .
b) Expression en coordonnées polaires
Cette même variation élémentaire d
−→
OM du vecteur
−→
OM peut s’exprimer en coordonnées
polaires. On peut comme on l’a fait précédemment déterminer la différentielle soit graphiquement soit par un calcul direct. Commençons par la méthode graphique :
(
)
ρ
ρ
θ
ρ
ρ
u
d
MH
d
d
HM
→
.
θ
u
→
.
=
+
=
y
ρ
θ
M (ρ,θ)
M
(ρ+ dρ,θ+dθ)
dθ
H (ρ+ dρ,θ)
x
θ
u
→
ρ
u
→
Figure A1.21 • Illustration du calcul de la différentielle d’un vecteur en coordonnées polaires.
Il est facile de voir sur le schéma de la figure A1.21 que la différentielle du vecteur
−→
OM qui
est définie par d
−→
OM =
−→
OM
−
−→
OM =
−−→
MM
, peut se décomposer dans la base polaire en
d
−→
OM =
− − →
MH +
− − →
HM
= dr − → u r + (r + dr)du − → u u
Le déplacement élémentaire dr est négligeable par rapport à r, ce qui conduit à :
d
−→
OM = dr − → u r + rdu − → u u
Le calcul direct se fait en utilisant les règles de différenciation d’un produit de fonction et
de dérivation d’un vecteur unitaire tournant :
−→
OM = r − → u r =⇒ d
−→
OM = d
r − → u r
= dr − → u r + rd − → u r = dr − → u r + rdu − → u u
Le résultat précédent peut être généralisé en coordonnées cylindriques en ajoutant un
déplacement élémentaire dans la direction − → u z , soit :
−→
OM = r − → u r + z − → u z =⇒ d
−→
OM = dr − → u r + rdu − → u u + dz − → u z
c) Expression en coordonnées sphériques
Nous partons de la position du point M qui est donnée par
−→
OM = r − → u r et nous nous
bornons à décrire graphiquement le déplacement élémentaire d
− →
l .
301
La quantité obtenue est un vecteur de composantes dx,dy,dz. Elle représente une variation
élémentaire quelconque du vecteur
−→
OM. Il est utile de remarquer que d
−→
OM représente un
déplacement élémentaire dans l’espace. Pour cette raison, la différentielle du vecteur
−→
OM
est notée d
−→
OM =d
− →
l .
b) Expression en coordonnées polaires
Cette même variation élémentaire d
−→
OM du vecteur
−→
OM peut s’exprimer en coordonnées
polaires. On peut comme on l’a fait précédemment déterminer la différentielle soit graphiquement soit par un calcul direct. Commençons par la méthode graphique :
(
)
ρ
ρ
θ
ρ
ρ
u
d
MH
d
d
HM
→
.
θ
u
→
.
=
+
=
y
ρ
θ
M (ρ,θ)
M
(ρ+ dρ,θ+dθ)
dθ
H (ρ+ dρ,θ)
x
θ
u
→
ρ
u
→
Figure A1.21 • Illustration du calcul de la différentielle d’un vecteur en coordonnées polaires.
Il est facile de voir sur le schéma de la figure A1.21 que la différentielle du vecteur
−→
OM qui
est définie par d
−→
OM =
−→
OM
−
−→
OM =
−−→
MM
, peut se décomposer dans la base polaire en
d
−→
OM =
− − →
MH +
− − →
HM
= dr − → u r + (r + dr)du − → u u
Le déplacement élémentaire dr est négligeable par rapport à r, ce qui conduit à :
d
−→
OM = dr − → u r + rdu − → u u
Le calcul direct se fait en utilisant les règles de différenciation d’un produit de fonction et
de dérivation d’un vecteur unitaire tournant :
−→
OM = r − → u r =⇒ d
−→
OM = d
r − → u r
= dr − → u r + rd − → u r = dr − → u r + rdu − → u u
Le résultat précédent peut être généralisé en coordonnées cylindriques en ajoutant un
déplacement élémentaire dans la direction − → u z , soit :
−→
OM = r − → u r + z − → u z =⇒ d
−→
OM = dr − → u r + rdu − → u u + dz − → u z
c) Expression en coordonnées sphériques
Nous partons de la position du point M qui est donnée par
−→
OM = r − → u r et nous nous
bornons à décrire graphiquement le déplacement élémentaire d
− →
l .