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Mécanique du point
8 Trajectoire elliptique
1) Nous voyons que : r + re cos u = p =⇒ y
2 + x
2 (1 − e
2 ) + 2pex = p
2
y
2
1 − e 2 + x
2 + 2x
pe
1 − e 2 +
„
pe
1 − e 2
« 2
=
„
pe
1 − e 2
« 2
+
p
2
1 − e 2
y
2
1 − e 2 + (x +
pe
1 − e 2 )
2 =
p
2
(1 − e 2 ) 2
soit
„
y
√
1−e 2
p
« 2
+
“
1−e
2
p
x + e
” 2
= 1.
L’équation d’une ellipse de centre (x 0, 0), de petit axe b et de grand axe a est
(x−x 0 )
2
a 2
+
y
2
b 2 = 1.
Il s’ensuit que a = p/(1 − e
2 ), b = p/
√
1 − e 2 , x0 = −ea = −ep/(1 − e
2 ).
2) Dans la base polaire
“ − → u r,
− → u u,
− →
k
”
, le vecteur accélération s’écrit − → a = (¨ r − r ˙
u
2 , 2˙ r ˙
u + r ¨
u, 0).
Sa composante radiale est donc ar = ¨ r − r ˙
u
2 . Le mouvement étant à force centrale, nous avons
r
2 ˙
u = C =⇒
dr
2 ˙
u
dt
= 0 = 2˙ r ˙
u+r ¨
u. Il n’y a donc pas d’accélération orthoradiale. Si l’on applique
le principe fondamental de la dynamique on voit que mar = −GmM/r
2 =⇒ ar = −
K
r 2 avec
K = GM.
3) ar = ¨ r − r ˙
u
2 = −
k
r 2 , r =
p
1+e cos u
et C = r
2 ˙
u. Nous avons r ˙
u
2 =
C
2
r 3 . Il reste
exprimer ˙ r. On a ˙ r =
d r
d u
˙
u soit ˙ r =
ep sin u
(1+e cos u) 2
˙
u =
e
p
r
2 sin u
C
r 2
=
eC
p
sin u. On a ensuite ¨ r =
d ˙ r
d u
˙
u =
eC
p
cos u
C
r 2
=
eC
3
pr 2 cos u. L’expression de l’acclration radiale donne
ar = ¨ r − r ˙
u
2 =
eC
2
pr 2 cos u −
C
2
r 3 =
C
2
r 2 (
e cos u
p
−
1+e cos u
p
) = −
C
2
pr 2 = −
K
r 2 =⇒ p =
C
2
K
=
C
2
GM
4) La loi des aires conduit à
2pab
T
= C. Or b = a
√
1 − e 2 .
9 1) E =
1
2
mv
2 − G
mM T
r
.
2) À l’apogée (A) et au périgée (B) nous avons vArA = vBrB = C (voir exercice 2). On en déduit
que
E =
1
2
m
C
2
r
2
A
− G
mMT
rA
=⇒ r
2
A + G
mMT
E
rA −
1
2
m
C
2
E
= 0.
3) La somme des racines de cette équation, qui est vérifiée pour rA et rB, est
rA + rB = 2a = −G
mMT
E
=⇒ E = −G
mMT
2a
.
Comme g0R
2
T =GMT il s’ensuit que :
1
2
v
2 −
g0R
2
T
r
= −
g0R
2
T
2a
=⇒ v
2 = g0R
2
T
„
2
r
−
1
a
«
.
4) Si l’orbite est circulaire alors a = r = r0 d’où v
2
0 =
g 0 R
2
T
r 0
et Ec =
1
2
mv
2
0 =
mg 0 R
2
T
2r 0
.
5) Pour que le sattelite arrive sur la Terre au point P il faut que son orbite soit elliptique. Au
point P l’équation paramétrée de l’ellipse conduit à : r (u = p/2) = RT =
p
1+e cos u
= p.
Or le paramètre p de l’ellipse vérifie p =
C
2
G(m+M T )
C
2
GM T
=
C
2
g 0 R 2
T
=⇒ C
2 = g0R
3
T .
Mécanique du point
8 Trajectoire elliptique
1) Nous voyons que : r + re cos u = p =⇒ y
2 + x
2 (1 − e
2 ) + 2pex = p
2
y
2
1 − e 2 + x
2 + 2x
pe
1 − e 2 +
„
pe
1 − e 2
« 2
=
„
pe
1 − e 2
« 2
+
p
2
1 − e 2
y
2
1 − e 2 + (x +
pe
1 − e 2 )
2 =
p
2
(1 − e 2 ) 2
soit
„
y
√
1−e 2
p
« 2
+
“
1−e
2
p
x + e
” 2
= 1.
L’équation d’une ellipse de centre (x 0, 0), de petit axe b et de grand axe a est
(x−x 0 )
2
a 2
+
y
2
b 2 = 1.
Il s’ensuit que a = p/(1 − e
2 ), b = p/
√
1 − e 2 , x0 = −ea = −ep/(1 − e
2 ).
2) Dans la base polaire
“ − → u r,
− → u u,
− →
k
”
, le vecteur accélération s’écrit − → a = (¨ r − r ˙
u
2 , 2˙ r ˙
u + r ¨
u, 0).
Sa composante radiale est donc ar = ¨ r − r ˙
u
2 . Le mouvement étant à force centrale, nous avons
r
2 ˙
u = C =⇒
dr
2 ˙
u
dt
= 0 = 2˙ r ˙
u+r ¨
u. Il n’y a donc pas d’accélération orthoradiale. Si l’on applique
le principe fondamental de la dynamique on voit que mar = −GmM/r
2 =⇒ ar = −
K
r 2 avec
K = GM.
3) ar = ¨ r − r ˙
u
2 = −
k
r 2 , r =
p
1+e cos u
et C = r
2 ˙
u. Nous avons r ˙
u
2 =
C
2
r 3 . Il reste
exprimer ˙ r. On a ˙ r =
d r
d u
˙
u soit ˙ r =
ep sin u
(1+e cos u) 2
˙
u =
e
p
r
2 sin u
C
r 2
=
eC
p
sin u. On a ensuite ¨ r =
d ˙ r
d u
˙
u =
eC
p
cos u
C
r 2
=
eC
3
pr 2 cos u. L’expression de l’acclration radiale donne
ar = ¨ r − r ˙
u
2 =
eC
2
pr 2 cos u −
C
2
r 3 =
C
2
r 2 (
e cos u
p
−
1+e cos u
p
) = −
C
2
pr 2 = −
K
r 2 =⇒ p =
C
2
K
=
C
2
GM
4) La loi des aires conduit à
2pab
T
= C. Or b = a
√
1 − e 2 .
9 1) E =
1
2
mv
2 − G
mM T
r
.
2) À l’apogée (A) et au périgée (B) nous avons vArA = vBrB = C (voir exercice 2). On en déduit
que
E =
1
2
m
C
2
r
2
A
− G
mMT
rA
=⇒ r
2
A + G
mMT
E
rA −
1
2
m
C
2
E
= 0.
3) La somme des racines de cette équation, qui est vérifiée pour rA et rB, est
rA + rB = 2a = −G
mMT
E
=⇒ E = −G
mMT
2a
.
Comme g0R
2
T =GMT il s’ensuit que :
1
2
v
2 −
g0R
2
T
r
= −
g0R
2
T
2a
=⇒ v
2 = g0R
2
T
„
2
r
−
1
a
«
.
4) Si l’orbite est circulaire alors a = r = r0 d’où v
2
0 =
g 0 R
2
T
r 0
et Ec =
1
2
mv
2
0 =
mg 0 R
2
T
2r 0
.
5) Pour que le sattelite arrive sur la Terre au point P il faut que son orbite soit elliptique. Au
point P l’équation paramétrée de l’ellipse conduit à : r (u = p/2) = RT =
p
1+e cos u
= p.
Or le paramètre p de l’ellipse vérifie p =
C
2
G(m+M T )
C
2
GM T
=
C
2
g 0 R 2
T
=⇒ C
2 = g0R
3
T .