Cinématique du point
19
Coordonnées
Cartésiennes
Cylindriques
Frenet
Base
− → u x , − → u y , − → u z
− → u r , − → u u , − → u z
− → e t , − → e n
Position
−→
OM
x
y
z
r
0
z
s =
VM
Vitesse − → v M/R
˙ x
˙ y
˙ z
⎡
⎣
˙
r
r ˙
u
˙ z
⎤
⎦
˙ s − → e t = v − → e t
Accélération − → a M/R
¨ x
¨ y
¨ z
⎡
⎣
(¨ r − r ˙
u
2 )
(2˙ r ˙
u + r ¨
u)
¨ z
⎤
⎦
⎡
⎣
¨ s − → e t
v
2
M/R
R
− → e n
⎤
⎦
➤ Différents mouvements simples :
• Mouvement rectiligne uniforme ⇒ − → v = cste.
• Mouvement rectiligne uniformément varié ⇒ − → a = cste et − → a et − → v ont même
direction.
• Mouvement circulaire uniforme ⇒ v = ˙
u = cste et accélération normale et centripète a = v
2 R =
v
2
R
.
EXERCICE D’APPLICATION AVEC SOLUTION DÉTAILLÉE
Cinématique
Dans un repère cartésien (O, x, y, z), muni de la base ( − → u x , − → u y , − → u z ), un point M en
mouvement a pour équations horaires
⎧
⎨
⎩
x = 1 + cos t
y = sin t
z = 0
(unités du système international)
1) Déterminer l’équation de la trajectoire et montrer que c’est un cercle dont le centre
C est sur l’axe Ox (OC = +1 m) et dont le rayon est R = 1m.
2) Exprimer le vecteur vitesse
− →
V . Préciser sa direction par rapport à la trajectoire.
Donner la valeur de la vitesse V du point M et montrer que le mouvement est uniforme.
3) Exprimer le vecteur vitesse angulaire − → v (ou vecteur rotation). Donner la valeur
de v.
4) Exprimer le vecteur accélération − → a . Le comparer avec le vecteur
− →
CM. Que peut-on
dire de ce vecteur par rapport au vecteur vitesse
− →
V et par rapport à la trajectoire.
Donner la valeur de a.