Cinématique du point
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• axe x perpendiculaire à l’axe z et dans le plan contenant − → a et − → v o . On aura alors :
− → v o = v ox
− → u x + v oz
− → u z
• axe y défini de sorte que − → u x , − → u y , − → u z forment une base orthonormée directe.
On obtient, par intégrations successives et en tenant compte des conditions initiales :
− → a M/R
0
0
a o
=⇒ − → v M/R
v ox
0
a o t + v oz
soit
−→
OM =
x = v ox t + x o = v ox t
y = y o = 0
z =
1
2
a o t
2 + v oz t + z o =
1
2
a o t
2 + v oz
Dans le cas où − → v o = 0, on retrouve le mouvement rectiligne uniformément varié suivant
l’axe des z.
Pour v ox = 0, le mouvement est un mouvement plan, dans le plan défini par le vecteur
accélération et le vecteur vitesse à l’instant t = 0.
Le mouvement projeté suivant l’axe des x est un mouvement uniforme de vitesse v ox .
Le mouvement projeté suivant l’axe des z est uniformément varié, d’accélération
constante a o .
En éliminant la variable t entre les deux équations horaires du mouvement, on obtient
l’équation de la trajectoire :
t =
x
v ox
et
z =
1
2
a o
x
2
v 2
ox
+ v oz
x
v ox
Si a est l’angle que fait le vecteur vitesse v o avec l’axe des x et v o la norme de ce vecteur
vitesse, on peut encore écrire :
z =
1
2
a o
x
2
v 2
o cos 2 a
+ x tan a
(1.1)
La trajectoire est une portion de parabole.
La figure 1.16 représente la trajectoire d’un projectile pour lequel le vecteur accélération
vaut :
− → a = − → g = −g − → u z =⇒ a o = −g
où g est l’accélération de la pesanteur.
La flèche h correspond à l’altitude maximale que peut atteindre le point mobile. La portée
d correspond à la distance maximale que peut atteindre le point lorsque qu’il revient à
l’ordonnée z = 0.