Référentiels non galiléens
215
II. Le plateau tourne (par rapport à la Terre)
II.A. Étude cinématique
1) Donner l’expression du vecteur vitesse angulaire − → v dans la base ( − → u x , − → u y , − → u z ). Donner la valeur de v dans les unités du système international.
2) Si la fléchette était posée sur le sol du plateau à l’abscisse x, quel serait son mouvement par rapport à la terre. En déduire l’expression, dans la base ( − → u x , − → u y , − → u z ), de
l’accélération qu’elle aurait par rapport au référentiel Terrestre. Donner alors, pour
la fléchette en mouvement, située à l’abscisse x (t) (expression en fonction de R, V o
et t de la question I.2), l’expression du vecteur accélération d’entraînement − → a e de la
fléchette par rapport au référentiel terrestre.
3) L’accélération de Coriolis ou complémentaire qui intervient dans la loi de composition des accélérations a pour expression : − → a C = 2
− →
V ∧
− →
V avec
− →
V vecteur vitesse du
point considéré dans le référentiel tournant et
− →
V le vecteur vitesse angulaire du référentiel tournant par rapport au référentiel terrestre. Dans le cas de notre fléchette qui
se déplacerait avec une vitesse
− →
V = −V o
− → u x par rapport au plateau tournant, donner
l’expression de l’accélération de Coriolis − → a C dans la base ( − → u x , − → u y , − → u z ).
II.B. Étude dynamique
La rotation du plateau est suffisamment faible pour qu’on puisse, dans un premier
temps, considérer que la vitesse de la fléchette est
− →
V = −V o
− → u x .
1) Le référentiel « plateau » est-il galiléen ? Pourquoi ?
2) Faire l’étude du système fléchette de masse m dans le référentiel « plateau ». Exprimer les forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis en utilisant les résultats de
la partie II.A. Appliquer le principe fondamental de la dynamique (équation vectorielle (1)).
3) Projeter l’équation (1) suivant l’axe Ox. Après intégration, montrer que :
˙ x(t) = −V o (1 + at
2
− bt) où a et b sont 2 constantes positives.
a) Exprimer a et b en fonction de R, v et V o . Calculer les constantes a et b.
b) Pour t ≈ T (temps mis par la fléchette pour atteindre la cible) calculer
(1 − aT
2 + bT). Est-il justifié de considérer dans un premier temps que la vitesse
suivant Ox est −V o ?
4) Projeter l’équation (1) suivant l’axe Oy. Après intégration, montrer que :
y(t) = ct
2 où c est une constante
a) Exprimer c en fonction de v et V o . Calculer la constante c.
b) Exprimer ˙ y(t) = v y en fonction de la constante c.
c) Pour t ≈ T (temps mis par la fléchette pour atteindre la cible) calculer
˙ y(T) = v y (T)et comparer avec V o . Conclure à propos de l’hypothèse faite au
début du calcul de considérer dans un premier temps que
− →
V = −V o
− → u x .
d) Pour t ≈ T (temps mis par la fléchette pour atteindre la cible) calculer y(T). Faire
un schéma donnant l’allure de la trajectoire de la fléchette dans le plan xOy.
Conclure : la fléchette atteint-elle la cible ?.
(Remarque : cette méthode se nomme : méthode par perturbation).
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II. Le plateau tourne (par rapport à la Terre)
II.A. Étude cinématique
1) Donner l’expression du vecteur vitesse angulaire − → v dans la base ( − → u x , − → u y , − → u z ). Donner la valeur de v dans les unités du système international.
2) Si la fléchette était posée sur le sol du plateau à l’abscisse x, quel serait son mouvement par rapport à la terre. En déduire l’expression, dans la base ( − → u x , − → u y , − → u z ), de
l’accélération qu’elle aurait par rapport au référentiel Terrestre. Donner alors, pour
la fléchette en mouvement, située à l’abscisse x (t) (expression en fonction de R, V o
et t de la question I.2), l’expression du vecteur accélération d’entraînement − → a e de la
fléchette par rapport au référentiel terrestre.
3) L’accélération de Coriolis ou complémentaire qui intervient dans la loi de composition des accélérations a pour expression : − → a C = 2
− →
V ∧
− →
V avec
− →
V vecteur vitesse du
point considéré dans le référentiel tournant et
− →
V le vecteur vitesse angulaire du référentiel tournant par rapport au référentiel terrestre. Dans le cas de notre fléchette qui
se déplacerait avec une vitesse
− →
V = −V o
− → u x par rapport au plateau tournant, donner
l’expression de l’accélération de Coriolis − → a C dans la base ( − → u x , − → u y , − → u z ).
II.B. Étude dynamique
La rotation du plateau est suffisamment faible pour qu’on puisse, dans un premier
temps, considérer que la vitesse de la fléchette est
− →
V = −V o
− → u x .
1) Le référentiel « plateau » est-il galiléen ? Pourquoi ?
2) Faire l’étude du système fléchette de masse m dans le référentiel « plateau ». Exprimer les forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis en utilisant les résultats de
la partie II.A. Appliquer le principe fondamental de la dynamique (équation vectorielle (1)).
3) Projeter l’équation (1) suivant l’axe Ox. Après intégration, montrer que :
˙ x(t) = −V o (1 + at
2
− bt) où a et b sont 2 constantes positives.
a) Exprimer a et b en fonction de R, v et V o . Calculer les constantes a et b.
b) Pour t ≈ T (temps mis par la fléchette pour atteindre la cible) calculer
(1 − aT
2 + bT). Est-il justifié de considérer dans un premier temps que la vitesse
suivant Ox est −V o ?
4) Projeter l’équation (1) suivant l’axe Oy. Après intégration, montrer que :
y(t) = ct
2 où c est une constante
a) Exprimer c en fonction de v et V o . Calculer la constante c.
b) Exprimer ˙ y(t) = v y en fonction de la constante c.
c) Pour t ≈ T (temps mis par la fléchette pour atteindre la cible) calculer
˙ y(T) = v y (T)et comparer avec V o . Conclure à propos de l’hypothèse faite au
début du calcul de considérer dans un premier temps que
− →
V = −V o
− → u x .
d) Pour t ≈ T (temps mis par la fléchette pour atteindre la cible) calculer y(T). Faire
un schéma donnant l’allure de la trajectoire de la fléchette dans le plan xOy.
Conclure : la fléchette atteint-elle la cible ?.
(Remarque : cette méthode se nomme : méthode par perturbation).