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Mécanique du point
z
x
y
T
I
L
Terre
Lune
D
Figure 8.16 • Influence de la Lune sur un point I de la Terre.
Calculons la contribution de la Lune en I. Nous avons dans la base cartésienne :
− →
G L (I) = −GM L
− →
LI
LI 3 = −GM L
x − → u x +
y − D
− → u y + z − → u z
(x 2 +
y − D
2 + z 2 ) 3/2
La distance TI (rayon de la Terre) étant très inférieure à la distance TL, il est possible de
faire le développement limité de cette expression au premier ordre en y/D :
− →
G L (I) = −GM L
x − → u x +
y − D
− → u y + z − → u z
D 3 (1 −
2y
D
+
x 2 +y 2 +z 2
D 2
) 3/2
≈ −
GM L
D 3 (x − → u x +
y − D
− → u y + z − → u z )(1 +
3y
D
)
Il en résulte que la quantité D − → g L s’écrit :
D − → g L ≈ −
GM L
D 3 (x − → u x +
y − D
− → u y + z − → u z )(1 +
3y
D
) −
GM L
D 3 D − → u y
ce qui conduit à :
D − → g L ≈ −
GM L
D 3 (x − → u x + y − → u y + z − → u z ) +
GM L
D 3 3y − → u y = −
GM L
D 3
− →
TI +
GM L
D 3 3y − → u y
Cette quantité est donc la somme de deux termes. Le premier terme, que l’on notera g 1 ,
s’écrit : − → g 1 = −
GM L
D 3
− →
TI.
Il est de module constant et n’influence aucunement le mouvement de la mer. Il s’ajoute
au champ de pesanteur et sont influence est infime ( − → g 1 5 · 10
−7 ms
−2 ).
Le second terme fluctue avec la position de I dans le repère (T, x, y, z). Il est noté g 2 et a
pour expression : − → g 2 =
GM L
D 3 3y − → u y .
La figure 8.17 représente le plan équatorial et précise la contribution en différents points
I du repère.