Cinématique du point
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4. RÉCAPITULATIF
Nous présentons dans le tableau suivant le récapitulatif des expressions que nous avons
introduites précédemment.
Base
Position
Vitesse
Accélération
Cartésienne
O, − → u x , − → u y , − → u z
−→
OM = x − → u x + y − → u y + z − → u z v M/R = ˙ x − → u x + ˙ y − → u y + ˙ z − → u z a M/R = ¨ x − → u x + ¨ y − → u y + ¨ z − → u z
Cylindrique
O,, u r ,, u u , − → u z
− →
M = r u r + z − → u z
v M/R = ˙
r u r + r ˙
u u u + ˙ z − → u z a M/R =
(¨ r − r ˙
u
2 ) u r
(2˙ r ˙
u + r ¨
u) u u
¨ z − → u z
Base de Frenet
V; e t ,, e n
s = V
M
v M/R = ˙ s e t = v e t
a M/R = ¨ s e t +
v
2
R
e n
u z
→
θ
M(t)
dθ
x
y
z
M
(t+dt)
O
u z
dt
d →
→
θ
ω =
Figure 1.11 • L’angle u croît au cours du
temps donc la valeur algébrique de la
vitesse angulaire est positive et le vecteur
vitesse angulaire est dirigé dans le sens des
z positifs.
Remarque. Il est également possible de définir, à partir de la position angulaire d’un
point M se déplaçant dans le plan O, x, y, le
vecteur vitesse angulaire − → v = ˙
u − → u z et le vecteur
accélération angulaire
d −
→ v
d t
= ¨
u − → u z . Ces vecteurs
sont perpendiculaires au plan dans lequel se
fait le mouvement de M.
Le signe de ˙
u (et donc le sens du vecteur
− → v ) permet de savoir dans quel sens le système tourne en appliquant la règle habituelle
du tire-bouchon (voir annexe). La figure 1.11
illustre ce propos ; le point M tourne dans le
sens trigonométrique et le tire bouchon qui
tourne dans ce sens se déplace dans le sens
des z > 0. Le vecteur vitesse angulaire est
donc orienté dans le même sens que − → u z .
Le mouvement est accéléré si | ˙
u| croît avec le
temps c’est-à-dire si ˙
u
2 est une fonction croissante du temps. La dérivée 2 ˙
u ¨
u doit être positive. L’étude du signe du produit ˙
u ¨
u indiquera
si le mouvement est accéléré ( ˙
u ¨
u > 0, les deux vecteurs vitesse et accélération angulaires
ont le même sens) ou décéléré ( ˙
u ¨
u < 0, les deux vecteurs sont alors de sens contraire).
Encart 1.1. Les équations différentielles du mouvement
L’étude du mouvement d’un point matériel a pour but de déterminer les équations
horaires de la trajectoire, c’est-à-dire la loi d’évolution des composantes de la position
du point matériel en fonction du temps. Les équations horaires de la trajectoire ne
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4. RÉCAPITULATIF
Nous présentons dans le tableau suivant le récapitulatif des expressions que nous avons
introduites précédemment.
Base
Position
Vitesse
Accélération
Cartésienne
O, − → u x , − → u y , − → u z
−→
OM = x − → u x + y − → u y + z − → u z v M/R = ˙ x − → u x + ˙ y − → u y + ˙ z − → u z a M/R = ¨ x − → u x + ¨ y − → u y + ¨ z − → u z
Cylindrique
O,, u r ,, u u , − → u z
− →
M = r u r + z − → u z
v M/R = ˙
r u r + r ˙
u u u + ˙ z − → u z a M/R =
(¨ r − r ˙
u
2 ) u r
(2˙ r ˙
u + r ¨
u) u u
¨ z − → u z
Base de Frenet
V; e t ,, e n
s = V
M
v M/R = ˙ s e t = v e t
a M/R = ¨ s e t +
v
2
R
e n
u z
→
θ
M(t)
dθ
x
y
z
M
(t+dt)
O
u z
dt
d →
→
θ
ω =
Figure 1.11 • L’angle u croît au cours du
temps donc la valeur algébrique de la
vitesse angulaire est positive et le vecteur
vitesse angulaire est dirigé dans le sens des
z positifs.
Remarque. Il est également possible de définir, à partir de la position angulaire d’un
point M se déplaçant dans le plan O, x, y, le
vecteur vitesse angulaire − → v = ˙
u − → u z et le vecteur
accélération angulaire
d −
→ v
d t
= ¨
u − → u z . Ces vecteurs
sont perpendiculaires au plan dans lequel se
fait le mouvement de M.
Le signe de ˙
u (et donc le sens du vecteur
− → v ) permet de savoir dans quel sens le système tourne en appliquant la règle habituelle
du tire-bouchon (voir annexe). La figure 1.11
illustre ce propos ; le point M tourne dans le
sens trigonométrique et le tire bouchon qui
tourne dans ce sens se déplace dans le sens
des z > 0. Le vecteur vitesse angulaire est
donc orienté dans le même sens que − → u z .
Le mouvement est accéléré si | ˙
u| croît avec le
temps c’est-à-dire si ˙
u
2 est une fonction croissante du temps. La dérivée 2 ˙
u ¨
u doit être positive. L’étude du signe du produit ˙
u ¨
u indiquera
si le mouvement est accéléré ( ˙
u ¨
u > 0, les deux vecteurs vitesse et accélération angulaires
ont le même sens) ou décéléré ( ˙
u ¨
u < 0, les deux vecteurs sont alors de sens contraire).
Encart 1.1. Les équations différentielles du mouvement
L’étude du mouvement d’un point matériel a pour but de déterminer les équations
horaires de la trajectoire, c’est-à-dire la loi d’évolution des composantes de la position
du point matériel en fonction du temps. Les équations horaires de la trajectoire ne