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Mécanique du point
5.2. Étude de l’oscillateur à frottement faible
Nous avons vu que la solution de l’équation différentielle s’écrit :
x (t) = e
−
a
2m
t
Ae
jt
q
v
2
0 −
a 2
4m 2 + Be
−jt
q
v
2
0 −
a 2
4m 2
où A et B sont deux constantes complexes dépendant des conditions initiales.
La solution x(t) étant une fonction réelle, on peut montrer que le terme entre parenthèses
s’écrit comme une combinaison de cosinus et sinus, ce qui conduit à :
x (t) = X max e
−
a
2m
t cos (vt + w) = e
−
a
2m
t (X 0 cos vt + Y 0 sin vt)
avec :
v =
v
2
0 −
a 2
4m 2
qui est la pulsation du mouvement et les couples (X max , w) et (X 0 , Y 0 ) sont des constantes
réelles dépendant des conditions initiales. La position de l’oscillateur s’exprime donc par
un produit de deux termes. Le premier terme est une exponentielle décroissante et représente l’enveloppe du mouvement de l’oscillateur, c’est-à-dire les positions extrémales
prises par x (t) lorsque le temps s’écoule. La décroissance de l’exponentielle est guidée
par le rapport a/2m qui traduit l’amortissement plus ou moins prononcé du mouvement.
Lorsque a est nul, le mouvement est non amorti et l’on retombe sur la solution de l’oscillateur harmonique.
Le second terme est un cosinus qui traduirait la périodicité du mouvement s’il n’y avait
pas d’amortissement. Nous notons bien que le mouvement n’est plus périodique puisqu’au bout du temps T l’élongation de l’oscillateur ne reprend pas la même valeur donc
x(t) = x(t + T). On parle de pseudopériode et l’on dit que le mouvement est pseudopériodique. La pseudopériode est donnée par :
T =
2p
v
=
2p
v
2
0 −
a 2
4m 2
=
T 0
1 −
a 2
4v
2
0 m 2
Cette expression montre que la période de l’oscillateur amorti augmente avec l’amortissement. Nous pouvons donc affirmer que les frottements ralentissent le mouvement.
La figure 5.10 montre l’évolution de l’élongation x du ressort pour un pendule élastique
amorti par frottement visqueux.
Nous remarquons que les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales
du mouvement qui généralement sont x = X max et v = 0 à t = 0, ce qui conduit à :
x (t) = X max e
−
a
2m
t
cos vt +
a
2mv
sin vt
Dans la pratique, il existe deux solutions pour réaliser l’amortissement visqueux. La première consiste à utiliser un pendule élastique horizontal monté sur coussin d’air et à accrocher à la masse m une palette verticale trempant dans un liquide. La seconde consiste à
amortir le mouvement d’un pendule élastique vertical par une force de Lorentz en plongeant la masse m dans un champ magnétique
− →
B uniforme. On démontre que les courants
induits dans la masse produisent une force de freinage opposée et proportionnelle à la
vitesse de déplacement de la masse.
Mécanique du point
5.2. Étude de l’oscillateur à frottement faible
Nous avons vu que la solution de l’équation différentielle s’écrit :
x (t) = e
−
a
2m
t
Ae
jt
q
v
2
0 −
a 2
4m 2 + Be
−jt
q
v
2
0 −
a 2
4m 2
où A et B sont deux constantes complexes dépendant des conditions initiales.
La solution x(t) étant une fonction réelle, on peut montrer que le terme entre parenthèses
s’écrit comme une combinaison de cosinus et sinus, ce qui conduit à :
x (t) = X max e
−
a
2m
t cos (vt + w) = e
−
a
2m
t (X 0 cos vt + Y 0 sin vt)
avec :
v =
v
2
0 −
a 2
4m 2
qui est la pulsation du mouvement et les couples (X max , w) et (X 0 , Y 0 ) sont des constantes
réelles dépendant des conditions initiales. La position de l’oscillateur s’exprime donc par
un produit de deux termes. Le premier terme est une exponentielle décroissante et représente l’enveloppe du mouvement de l’oscillateur, c’est-à-dire les positions extrémales
prises par x (t) lorsque le temps s’écoule. La décroissance de l’exponentielle est guidée
par le rapport a/2m qui traduit l’amortissement plus ou moins prononcé du mouvement.
Lorsque a est nul, le mouvement est non amorti et l’on retombe sur la solution de l’oscillateur harmonique.
Le second terme est un cosinus qui traduirait la périodicité du mouvement s’il n’y avait
pas d’amortissement. Nous notons bien que le mouvement n’est plus périodique puisqu’au bout du temps T l’élongation de l’oscillateur ne reprend pas la même valeur donc
x(t) = x(t + T). On parle de pseudopériode et l’on dit que le mouvement est pseudopériodique. La pseudopériode est donnée par :
T =
2p
v
=
2p
v
2
0 −
a 2
4m 2
=
T 0
1 −
a 2
4v
2
0 m 2
Cette expression montre que la période de l’oscillateur amorti augmente avec l’amortissement. Nous pouvons donc affirmer que les frottements ralentissent le mouvement.
La figure 5.10 montre l’évolution de l’élongation x du ressort pour un pendule élastique
amorti par frottement visqueux.
Nous remarquons que les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales
du mouvement qui généralement sont x = X max et v = 0 à t = 0, ce qui conduit à :
x (t) = X max e
−
a
2m
t
cos vt +
a
2mv
sin vt
Dans la pratique, il existe deux solutions pour réaliser l’amortissement visqueux. La première consiste à utiliser un pendule élastique horizontal monté sur coussin d’air et à accrocher à la masse m une palette verticale trempant dans un liquide. La seconde consiste à
amortir le mouvement d’un pendule élastique vertical par une force de Lorentz en plongeant la masse m dans un champ magnétique
− →
B uniforme. On démontre que les courants
induits dans la masse produisent une force de freinage opposée et proportionnelle à la
vitesse de déplacement de la masse.