Oscillateurs mécaniques
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Il en résulte qu’un ressort très raide (k grand) a une période d’oscillation courte. Nous noterons qu’il est d’usage d’appeler T la période propre de l’oscillateur et que très fréquemment la période propre est notée T 0 . Cette période correspond à la période d’oscillations
de l’oscillateur libre. Cette dernière notation est très utile quand un oscillateur mécanique
est entretenu ou excité de façon sinusoïdale. La période d’excitation est alors notée T et
la période propre de l’oscillateur T 0 .
3.2. Pendule élastique vertical
Considérons maintenant le même problème que précédemment, mais avec un pendule
vertical. Le système étudié est la masse, le référentiel galiléen R(O, x, t) et les forces extérieures appliquées
− →
P et
− →
T . À l’équilibre, le poids compense la tension du ressort (figure 5.5) et l’on a :
− →
P +
− →
T =
− →
0 ⇒ (mg − kDl 0 ) − → u x =
− →
0
x(t)
l 0
k
l 0 +Δl 0
O
x
P
→
T
→
Equilibre
A vide
Mouvement
ux
→
Figure 5.5 • Schéma d’une masse accrochée à un ressort vertical en équilibre
puis en mouvement.
En mouvement, le poids ne compense plus la tension. L’origine O du mouvement est prise
sur la position d’équilibre du ressort. L’application de la RFD conduit à :
− →
P +
− →
T = m − → a ⇒ m¨ x − → u x = (mg − k(Dl 0 + x)) − → u x
En utilisant la condition d’équilibre du ressort, on aboutit à l’équation différentielle du
mouvement du pendule élastique :
¨ x +
k
m
x = 0
Le mouvement a les mêmes caractéristiques que celles de l’oscillateur horizontal.
3.3. Pendule simple
Nous considérons un pendule simple constitué d’une masse m ponctuelle accrochée à un
fil de longueur l, comme l’indique la figure 5.6.