Oscillateurs mécaniques
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De même on peut calculer l’accélération de l’oscillateur :
a =
d v
d t
= −x max v
2 e
j(vt+w) = v
2 x max e
j(vt+w+p)
Cette relation montre que l’accélération de l’oscillateur est en opposition de phase avec
l’amplitude. La représentation dans le plan complexe de ces trois grandeurs est présentée
figure 5.3.
Axe des imaginaires purs
j
Axe des réels
v
2 x max
v t
x max
v x max
Elongation
Vitesse
Accélération
w
Figure 5.3 • Représentation de l’élongation, de la vitesse et de l’accélération
dans le plan complexe.
2. ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
De la relation précédente, il est facile de voir que l’accélération de l’oscillateur est liée à
sa position par la relation :
a = −v
2 x
Il en résulte que l’équation différentielle du mouvement d’un oscillateur harmonique est
donnée par :
¨ x + v
2 x = 0
Tout système dont l’équation différentielle du mouvement est de cette forme est un oscillateur harmonique, ce qui peut se résumer de la façon suivante :
Oscillateur harmonique
¨ x + v
2 x = 0 =⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x(t) = x max cos(vt + w) = x max sin(vt + w
)
x(t) = A cos vt + B sin vt
x(t) = x max e
j(vt+w)