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Mécanique du point
h
A
B
M
C
D
E
F
z
g
→
R
O
U
Figure 4.15
2) On notera V M la vitesse du point M dans la position repérée par u. Écrire l’énergie
mécanique totale E m (A) en A et E m (M) en M.
3) Le système est-il conservatif ? En déduire une relation entre E m (A) et E m (M).
4) En déduire l’expression de
V
2
M
R
en fonction de g, R, h et u (relation n˚ 1).
II. Cinématique
L’étude du mouvement de M sur la boucle (BCDE) se fait naturellement en coordonnées polaires (R, u) et la base associée ( − → u r , − → u u ).
1) Exprimer le vecteur vitesse
− →
V M en coordonnées polaires et en déduire la relation
entre V M , R et ˙
u. Exprimer
V
2
M
R
en fonction de R et ˙
u (relation n˚2).
2) Exprimer le vecteur accélération − → a M en coordonnées polaires et en déduire, en
utilisant la relation n˚2 précédente, l’expression de la composante radiale (suivant − → u r )
de l’accélération en fonction de V M et R.
III. Dynamique
1) On appellera
− →
F la réaction de la piste sur la masse M.
Faire l’étude dynamique de M sur la partie circulaire (BCDE). Projeter le principe fondamental de la dynamique sur( − → u r , − → u u ) et exprimer alors le rapport F/m (relation 3).
2) Utiliser les relations n˚1 et 3 pour exprimer F/m en fonction de h, g, R et u.
3) Dire que la masse fait un tour complet en restant en contact avec la piste se traduit
par :
Pour toute valeur de l’angle u, la réaction F existe :
∀u, F(u) 0
Pour quelle valeur évidente de u la réaction F est-elle minimale ?
En déduire la valeur minimale que doit avoir l’altitude h du point A pour que le chariot
réalise le looping sans quitter la piste.