102
Mécanique du point
Énergie potentielle élastique. En reprenant les résultats obtenus à l’équation (4.2), nous
voyons que :
d W x→x+d x
− →
T
=
− →
T . d
− →
l = −kx d x = − d
1
2
kx
2
= − d (E Pe )
ou encore :
W x 1→ x 2
− →
T
= −k
x2
x1
x d x =
1
2
k
x
2
1 − x
2
2
L’énergie potentielle élastique E Pe correspond donc à :
E Pe =
1
2
kx
2 + C
Il est logique de choisir l’énergie potentielle nulle pour une déformation nulle. La
constante C est alors nulle et nous obtenons finalement
E Pe =
1
2
kx
2
Attention. Dans cette expression x représente l’allongement (ou la compression) du ressort (voir figure 4.5). Un choix différent de l’origine des abscisses conduirait à une expression différente de cette énergie potentielle. Il vaut donc mieux retenir le résultat en
introduisant l’allongement du ressort :
E Pe =
1
2
k (Dl)
2 =
1
2
k (l − l 0 )
2
Énergie potentielle et force. Nous avons vu que l’énergie potentielle E p est reliée localement à la force
− →
F qui en dérive par la relation :
− − →
grad E P = −
− →
F
Cette relation est utile pour revenir à l’expression de la force quand on connaît l’expression de E p . Ainsi, pour l’énergie potentielle de pesanteur, il vient pour un axe vertical
ascendant :
− →
F = −
− − →
grad E PP = −
d E PP
d z
− → u z = −mg − → u z
ce qui montre bien que le poids d’un corps dérive de la fonction énergie potentielle de
pesanteur.
De même pour l’énergie potentielle élastique, nous voyons que la force élastique dérive
de la fonction énergie potentielle élastique :
− →
F = −
− − →
grad E Pe = −
d E Pe
d x
− → u x = −
d
1
2
kx
2
d x
− → u x = −kx − → u x