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Mécanique du point
M dans R par rapport au temps. En faisant cette opération, il apparaît dans le second
membre des vecteurs qui sont manifestement des vecteurs liés au référentiel R
comme
par exemple le vecteur
− − →
O
M ou encore le vecteur − → v M/R . Nous souhaitons faire apparaître
leur dérivée dans R
et nous utilisons donc à cette fin la règle de dérivation (2.2) :
d
− →
X
d t
R
=
d
− →
X
d t
R
+
− →
V R /R ∧
− →
X
Appliquée aux vecteurs
− − →
O
M et − → v M/R cette règle conduit à :
d
− − →
O
M
d t
R
=
d
− − →
O
M
d t
R
+
− →
V R /R ∧
− − →
O
M
d −
→ v M/R
d t
R
=
d −
→ v M/R
d t
R
+
− →
V R /R ∧ − → v M/R
Nous concluons donc que :
d
− − →
O
M
d t
R
= − → v M/R +
− →
V R /R ∧
− − →
O
M
d −
→ v M/R
d t
R
= − → a M/R +
− →
V R /R ∧ − → v M/R
Le report de ces expressions dans l’équation (2.3) conduit à écrire le vecteur accélération de M par rapport à R sous la forme :
− → a M/R = − → a M/R + − → a e + − → a c
(2.4)
avec :
− → a e = − → a O /R +
− →
V R /R ∧
− →
V R /R ∧
− − →
O
M
+
d
−
→
V R /R
d t
∧
− − →
O
M
− → a c = 2
− →
V R /R ∧ − → v M/R
Le résultat ci-dessus constitue la loi de composition des accélérations.
Il est alors possible de distinguer trois termes dans cette expression :
• le premier terme du second membre − → a M/R qui représente l’accélération de M dans
R
ou accélération relative ;
• le dernier terme du second membre qui représente l’accélération de Coriolis ou accélération complémentaire − → v c =
− →
2V R /R ∧ − → v M/R . Elle n’existe que si le point est M
en mouvement dans R
et si R
est un référentiel en rotation par rapport à R ;
• le terme intermédiaire qui représente l’accélération d’entraînement − → a e . Cette accélération correspondrait à l’accélération qu’aurait le point M par rapport à R s’il était fixe
dans R
. Dans ce cas les accélérations relative et complémentaire sont nulles.
Encart 2.4. Application de la loi de composition des accélérations
Nous cherchons à comprendre comment utiliser l’équation (2.4). Reprenons l’exemple
du mouvement cycloïdal illustré par la figure 2.10 et considérons les trois référentiels
suivants :
Mécanique du point
M dans R par rapport au temps. En faisant cette opération, il apparaît dans le second
membre des vecteurs qui sont manifestement des vecteurs liés au référentiel R
comme
par exemple le vecteur
− − →
O
M ou encore le vecteur − → v M/R . Nous souhaitons faire apparaître
leur dérivée dans R
et nous utilisons donc à cette fin la règle de dérivation (2.2) :
d
− →
X
d t
R
=
d
− →
X
d t
R
+
− →
V R /R ∧
− →
X
Appliquée aux vecteurs
− − →
O
M et − → v M/R cette règle conduit à :
d
− − →
O
M
d t
R
=
d
− − →
O
M
d t
R
+
− →
V R /R ∧
− − →
O
M
d −
→ v M/R
d t
R
=
d −
→ v M/R
d t
R
+
− →
V R /R ∧ − → v M/R
Nous concluons donc que :
d
− − →
O
M
d t
R
= − → v M/R +
− →
V R /R ∧
− − →
O
M
d −
→ v M/R
d t
R
= − → a M/R +
− →
V R /R ∧ − → v M/R
Le report de ces expressions dans l’équation (2.3) conduit à écrire le vecteur accélération de M par rapport à R sous la forme :
− → a M/R = − → a M/R + − → a e + − → a c
(2.4)
avec :
− → a e = − → a O /R +
− →
V R /R ∧
− →
V R /R ∧
− − →
O
M
+
d
−
→
V R /R
d t
∧
− − →
O
M
− → a c = 2
− →
V R /R ∧ − → v M/R
Le résultat ci-dessus constitue la loi de composition des accélérations.
Il est alors possible de distinguer trois termes dans cette expression :
• le premier terme du second membre − → a M/R qui représente l’accélération de M dans
R
ou accélération relative ;
• le dernier terme du second membre qui représente l’accélération de Coriolis ou accélération complémentaire − → v c =
− →
2V R /R ∧ − → v M/R . Elle n’existe que si le point est M
en mouvement dans R
et si R
est un référentiel en rotation par rapport à R ;
• le terme intermédiaire qui représente l’accélération d’entraînement − → a e . Cette accélération correspondrait à l’accélération qu’aurait le point M par rapport à R s’il était fixe
dans R
. Dans ce cas les accélérations relative et complémentaire sont nulles.
Encart 2.4. Application de la loi de composition des accélérations
Nous cherchons à comprendre comment utiliser l’équation (2.4). Reprenons l’exemple
du mouvement cycloïdal illustré par la figure 2.10 et considérons les trois référentiels
suivants :