Cinématique du point
23
M
o
x
y
u x
→
θ
u
→
ρ
u
→
u y
→
θ
ρ
Figure 1.22
1) Par rapport au mur, exprimer le
vecteur vitesse
− →
V (M) de la mouche
sur la base mobile ( − → u r , − → u u ) liée à M.
Calculer les composantes de
− →
V (M)
pour t = 0 s, 15 s, 30 s, 45 s et 60 s.
2) Représenter
− →
V (M) aux points
M correspondants aux instants cidessus. Donner l’allure de la trajectoire sur le mur.
3) Calculer les composantes de l’accélération de M, − → a (M), sur la base mobile. Représenter − → a (M) aux cinq positions précédentes.
12 Mouvement curviligne. Une particule M se déplace dans le plan xOy. Sa vitesse est
définie par − → v = a − → u u + b − → u y , où a et b sont deux constantes.
1) Déterminer l’équation r(u) de la trajectoire en coordonnées polaires.
2) On choisit a = 3b. Sachant que pour u = 0 l’abscisse du point M est +1 m, donner
l’expression de r(u). Quelle est l’allure de la trajectoire dans le plan xOy ?
13 Mouvement curviligne. Un point M se déplace sur une spirale logarithmique d’équations polaires paramétriques : r = r o e
u , u = vt avec v constant.
1) Dessiner schématiquement une spirale logarithmique. Représenter les axes des
coordonnées polaires et le repère de Frenet en un point M quelconque de cette trajectoire.
2) Calculer les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M en coordonnées
polaires. En déduire les normes de ces vecteurs. Que vaut l’angle a que fait la vitesse
avec le vecteur unitaire − → u r ?
3) Calculer le rayon de courbure de la trajectoire.
4) Le point M décrit la même spirale r = r o e
u mais cette fois-ci c’est la vitesse linéaire
v qui est constante. Comment varie alors la vitesse angulaire au cours du temps ?
Solutions
1 Positions initiales des navires : No, N
o . Axes fixes liés à la Terre : Nox vers l’est et No, N
o y vers le
nord (voir figure 1.23a).
(nord)
N’
v
→
N o
N o
(est)
N
a
x
y
v
→
(nord)
N’
v
→
N o ’
N o
(est)
N 1
a
x
y
v
→
N
u
(a)
(b)
Figure 1.23
23
M
o
x
y
u x
→
θ
u
→
ρ
u
→
u y
→
θ
ρ
Figure 1.22
1) Par rapport au mur, exprimer le
vecteur vitesse
− →
V (M) de la mouche
sur la base mobile ( − → u r , − → u u ) liée à M.
Calculer les composantes de
− →
V (M)
pour t = 0 s, 15 s, 30 s, 45 s et 60 s.
2) Représenter
− →
V (M) aux points
M correspondants aux instants cidessus. Donner l’allure de la trajectoire sur le mur.
3) Calculer les composantes de l’accélération de M, − → a (M), sur la base mobile. Représenter − → a (M) aux cinq positions précédentes.
12 Mouvement curviligne. Une particule M se déplace dans le plan xOy. Sa vitesse est
définie par − → v = a − → u u + b − → u y , où a et b sont deux constantes.
1) Déterminer l’équation r(u) de la trajectoire en coordonnées polaires.
2) On choisit a = 3b. Sachant que pour u = 0 l’abscisse du point M est +1 m, donner
l’expression de r(u). Quelle est l’allure de la trajectoire dans le plan xOy ?
13 Mouvement curviligne. Un point M se déplace sur une spirale logarithmique d’équations polaires paramétriques : r = r o e
u , u = vt avec v constant.
1) Dessiner schématiquement une spirale logarithmique. Représenter les axes des
coordonnées polaires et le repère de Frenet en un point M quelconque de cette trajectoire.
2) Calculer les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M en coordonnées
polaires. En déduire les normes de ces vecteurs. Que vaut l’angle a que fait la vitesse
avec le vecteur unitaire − → u r ?
3) Calculer le rayon de courbure de la trajectoire.
4) Le point M décrit la même spirale r = r o e
u mais cette fois-ci c’est la vitesse linéaire
v qui est constante. Comment varie alors la vitesse angulaire au cours du temps ?
Solutions
1 Positions initiales des navires : No, N
o . Axes fixes liés à la Terre : Nox vers l’est et No, N
o y vers le
nord (voir figure 1.23a).
(nord)
N’
v
→
N o
N o
(est)
N
a
x
y
v
→
(nord)
N’
v
→
N o ’
N o
(est)
N 1
a
x
y
v
→
N
u
(a)
(b)
Figure 1.23