Annexes
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On peut répéter la même opération en fixant x = x o ; on aura alors ∂ y f =
∂f
∂y dy.
Pour une variation des deux variables, dx et dy, l’accroissement infinitésimal de la fonction
correspondra à la différentielle totale qui est la somme des différentielles partielles.
df = ∂ x f + ∂ y f =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy
À titre d’exemple on voit que la fonction f = x
2 y admet pour différentielle totale :
df = 2xydx + x
2 dy
De même, si on considère une fonction f de plusieurs variables réelles x, y, z cette fonction
admet plusieurs dérivées par rapport à chacune des variables. Ces dérivées représentent
l’évolution de cette fonction par rapport à chacune des variables. Toutefois il est possible
de connaître l’évolution de la fonction f par rapport à l’ensemble des variables en utilisant
la différentielle. On fait apparaître tout d’abord les dérivées partielles de la fonction f
par rapport à chacune des variables obtenues lorsque les autres variables sont supposées
constantes :
∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
et la différentielle de la fonction est par définition :
df =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy +
∂f
∂z
dz
d) Forme différentielle et différentielle totale
Soit l’expression suivante :
df = F(x, y)dx + G(x, y)dy
Cette expression a la même forme que la différentielle totale d’une fonction de deux
variables x et y. C’est une forme différentielle. On peut se poser la question de savoir s’il
existe effectivement une fonction f (x, y) dont la différentielle correspondrait à cette forme.
Si tel est le cas, on aura :
F(x, y) =
∂f
∂x
et G(x, y) =
∂f
∂y
Une condition nécessaire et suffisante pour que cette forme différentielle soit une différentielle totale est l’égalité des dérivées partielles croisées, soit :
∂F
∂y
=
∂
2 f
∂y∂x
=
∂
2 f
∂x∂y
=
∂G
∂x
Encart 1.3. Intégration d’une différentielle totale
Considérons comme exemple la forme différentielle suivante :
F(x, y)dx + G(x, y)dy = 6xydx + 3x
2 dy
Cela conduit à
F(x, y) = 6xy
G(x, y) = 3x
2 =⇒
∂F
∂y
= 6x =
∂G
∂x