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Mécanique du point
Dans cette expression − → v est le vecteur vitesse angulaire. Cette relation est valable pour
tout mouvement circulaire. On obtient de même pour le vecteur accélération :
− → a (t) = − → v ∧
− → v ∧
−→
OM(t)
= − → v ∧ − → v (t)
Ce résultat peut être obtenu directement en dérivant le vecteur vitesse exprimé sous forme
d’un produit vectoriel
− → a (t) =
d − → v (t)
d t
=
d
− → v ∧
−→
OM(t)
d t
=
− →
d v
d t
∧
−→
OM(t) + − → v ∧
d
−→
OM(t)
d t
Si le mouvement est circulaire uniforme, le vecteur vitesse angulaire − → v est un vecteur
constant. Sa dérivée étant nulle, on retrouve bien l’expression du vecteur accélération.
5.3. Le mouvement hélicoïdal
O
x
y
z
M
Figure 1.15 • Illustration d’un
mouvement hélicoïdal.
Le mouvement hélicoïdal est la combinaison d’un
mouvement de translation rectiligne uniforme selon l’axe des z et d’un mouvement circulaire uniforme dans le plan xOy.
Les équations horaires du mouvement selon les
trois axes x, y, z du référentiel cartésien sont :
x(t) = R cos vt ;
y(t) = R sin vt ;
z(t) = v o t
Il est facile de déterminer par dérivations successives les composantes du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point dans cette base :
− → v M/R =
−Rv sin vt
Rv cos vt
v o
− → a M/R
−Rv
2 cos vt
−Rv
2 sin vt
0
De même, les expressions de la vitesse et de l’accélération dans la base cylindrique sont
données par :
− → v M/R =
0
Rv
v 0
− → a M/R
−Rv
2
0
0
5.4. Le mouvement parabolique
Supposons que le vecteur accélération soit un vecteur constant et qu’à l’instant t = 0 le
vecteur vitesse − → v o soit donné. Le choix du repère étant libre, nous pouvons décider de le
définir à partir des données du problème. Nous faisons le choix suivant pour des raisons
de bon sens (figure 1.16) :
• origine du repère : position du point à t = 0 ;
• axe z suivant le vecteur accélération, soit − → a = a o
− → u z ;