Référentiels non galiléens
225
7) On suppose ˙ z ˙ x (z varie très peu par rapport à x) soit ˙ z cos l ˙ x sin l
¨ x + v
2
o x = 2V˙ y sin l¨ y + v
2
o y = −2V˙ x sin l¨ z + v
2
o z = 2V˙ y cos l
On en déduit en multipliant la 2
ème équation par i et en ajoutant la 1
ère équation :
¨
U + v
2
o U = 2V sin l(˙ y − i¨ x) = 2V sin li(−i˙ y − ˙ x) = −2Vi sin l ˙
U
¨
U + 2Vi sin l ˙
U + v
2
o U = 0 avec U = x + iy
8) Solution de la forme U = Ae
rt ⇒ r
2 + 2Vi sin lr + v
2
o r = 0
C’est l’équation caractéristique donc les solution sont :
r± = −Vi sin l ± i
p
V 2 sin
2 l + v
2
o et avec V sin l vo on obtient :
r± = −Vi sin l ± ivo soit : U = e
−iV sin lt `
Ae
ivot + Be
−ivot ´
Pour t = 0 on a y = 0 et x = x o = l sin 10˚ soit : xo = A + B et on lâche sans vitesse soit
encore :
˙
U = −iV sin le
−iV sin lt (Ae
ivot + Be
−ivot ) + e
−iV sin lt (Aivoe
ivot − Bivoe
−ivot )
On a donc : ˙
U(0) = −iV sin l(A + B) + (Aivo − Bivo) = 0 ⇒ Vxo sin l = vo(A − B)
(A − B) = xo
V sin l
vo
et xo = A + B ⇒ A =
xo
2
„
1 +
V sin l
vo
«
et B =
xo
2
„
1 −
V sin l
vo
«
Avec V sin l vo cela donne : A =
xo
2
= B et donc : U = e
−iV sin lt
„
xo
e
ivot + e
−ivot
2
«
Donc : U = A(cos vot)e
ikt avec A = xo = l sin 10
◦ = l sin ui et k = −V sin l .
9) x(t) = Re(U) = l sin ui cos(vot) cos(V sin lt)
y(t) = Im(U) = −l sin ui cos(vot) sin(V sin lt)
10) La période propre du pendule est
To =
2p
vo
= 2p
s
l
g
= 1,54 s T =
2p
V sin l
=
24
sin l
heures
x
y
Cercle de rayon
°
=
=
10
sin
sin θ l
l
R
i
O
M
M oscille sur un
diam ètre
(période 1,54 s)
Le diam ètre tourne avec la
Période
h
T
sin
24
sin
2
=
Ω
=
π
λ
λ
Figure 8.34
Le point M décrit donc un segment de longueur 2l sin ui avec une période de To = 1, 54 s,
ce segment (ou plan du pendule) tournant lentement dans le sens des aiguilles d’une montre
avec une période T.