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Mécanique du point
Trouver la valeur que doit avoir v pour que le point puisse être en équilibre relatif
par rapport à la gouttière lorsqu’on le dépose en un point donné de celle-ci sans
vitesse initiale relative.
4 Pendule de Foucault
En 1850, J.B. Foucault démontre que le mouvement d’un pendule simple illustre le
caractère non galiléen du référentiel terrestre en étudiant le mouvement pendant un
temps non négligeable devant la période de révolution de la Terre sur elle-même. Les
conditions initiales sont les suivantes : le pendule est initialement dans le plan xOz
et il part sans vitesse initiale d’une position écartée de 10
◦ par rapport à la verticale.
Dans tout le problème on supposera que l’accélération de la pesanteur g est constante
et égale à 10 ms
−2 .
I
O
équateur
Pôle
Nord
Ω
méridien
Axe Iz
Verticale du lieu
Axe Ix
Vers le Sud sur le
méridien
Z
X
Nord
Sud
Méridien
Parallèle
O
I
z
Est
Ouest
X
Z
S
M
θ
y
u
→
x
u
→
z
u
→
z
u
→
→
x
u
→
λ
λ
Figure 8.31 • Pendule de Foucault.
1) Que peut-on dire du référentiel terrestre ?
2) Le pendule simple est placé au Mans à la latitude l=48
◦ .
Déterminer les composantes du vecteur de rotation instantanée
− →
V de la Terre dans
la base − → u x , − → u y , − → u z du référentiel terrestre R(O, x, y, z). Comparer ses composantes à
la pulsation propre v 0 du pendule de longueur l = 60 m. On rappelle que la Terre
tourne sur elle-même en 24 h.
3) On appelle − → u r le vecteur unitaire dans la direction de
− →
SM = l − → u r . Calculer l’expression de ce vecteur en fonction de (x, y, z), position de M dans R et de l longueur
du pendule. En déduire l’expression de la tension
− →
T du fil dans la base − → u x , − → u y , − → u z
en fonction de T, x, y, z et l.
4) Écrire l’équation vectorielle du mouvement du pendule dans R en négligeant la
force d’inertie d’entraînement.
5) En déduire les équations différentielles du mouvement de la masse m sur les trois
axes du référentiel.
6) On admet que si l’amplitude d’oscillation est faible, la tension T du fil ne diffère
que de très peu du poids P de la masse m. En faisant cette approximation, réécrire les
équations du mouvement en faisant apparaître la pulsation propre de l’oscillateur.
7) On suppose que la vitesse de l’oscillateur selon z est faible par rapport à sa vitesse selon y. Écrire les équations différentielles selon les axes x et y dans le cadre de
Mécanique du point
Trouver la valeur que doit avoir v pour que le point puisse être en équilibre relatif
par rapport à la gouttière lorsqu’on le dépose en un point donné de celle-ci sans
vitesse initiale relative.
4 Pendule de Foucault
En 1850, J.B. Foucault démontre que le mouvement d’un pendule simple illustre le
caractère non galiléen du référentiel terrestre en étudiant le mouvement pendant un
temps non négligeable devant la période de révolution de la Terre sur elle-même. Les
conditions initiales sont les suivantes : le pendule est initialement dans le plan xOz
et il part sans vitesse initiale d’une position écartée de 10
◦ par rapport à la verticale.
Dans tout le problème on supposera que l’accélération de la pesanteur g est constante
et égale à 10 ms
−2 .
I
O
équateur
Pôle
Nord
Ω
méridien
Axe Iz
Verticale du lieu
Axe Ix
Vers le Sud sur le
méridien
Z
X
Nord
Sud
Méridien
Parallèle
O
I
z
Est
Ouest
X
Z
S
M
θ
y
u
→
x
u
→
z
u
→
z
u
→
→
x
u
→
λ
λ
Figure 8.31 • Pendule de Foucault.
1) Que peut-on dire du référentiel terrestre ?
2) Le pendule simple est placé au Mans à la latitude l=48
◦ .
Déterminer les composantes du vecteur de rotation instantanée
− →
V de la Terre dans
la base − → u x , − → u y , − → u z du référentiel terrestre R(O, x, y, z). Comparer ses composantes à
la pulsation propre v 0 du pendule de longueur l = 60 m. On rappelle que la Terre
tourne sur elle-même en 24 h.
3) On appelle − → u r le vecteur unitaire dans la direction de
− →
SM = l − → u r . Calculer l’expression de ce vecteur en fonction de (x, y, z), position de M dans R et de l longueur
du pendule. En déduire l’expression de la tension
− →
T du fil dans la base − → u x , − → u y , − → u z
en fonction de T, x, y, z et l.
4) Écrire l’équation vectorielle du mouvement du pendule dans R en négligeant la
force d’inertie d’entraînement.
5) En déduire les équations différentielles du mouvement de la masse m sur les trois
axes du référentiel.
6) On admet que si l’amplitude d’oscillation est faible, la tension T du fil ne diffère
que de très peu du poids P de la masse m. En faisant cette approximation, réécrire les
équations du mouvement en faisant apparaître la pulsation propre de l’oscillateur.
7) On suppose que la vitesse de l’oscillateur selon z est faible par rapport à sa vitesse selon y. Écrire les équations différentielles selon les axes x et y dans le cadre de