Référentiels non galiléens
211
1) a) Système : masse m de centre d’inertie G (figure 8.22) ;
Référentiel terrestre galiléen ;
Bilan des forces :
le poids
− →
P = m − → g = mg[(sin a) − → u x − (cos a)u y ]
la réaction normale du plan incliné
− →
R n = R n
− → u y
la force de frottement
− →
f = −f −
→ u x
Principe fondamental de la dynamique :
− →
P +
− →
R n +
− →
f = m − → a
Projection sur la base d’étude :
Sur − → u y : R n − mg cos a = 0 ⇒ R n = mg cos a
Sur − → u x : mg sin a − f = m¨ x ⇒ a(t) = ¨ x = g sin a −
f
m
L’accélération est constante. Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.
b) Le référentiel (R) lié au véhicule est en translation rectiligne uniformément
accéléré, par rapport au référentiel terrestre, avec une accélération a(t). Ce référentiel n’est pas en translation rectiligne uniforme ce qui serait la condition
pour qu’il soit galiléen. Il est donc non galiléen.
2) a) Le référentiel (R) étant en translation, il n’y a pas de force d’inertie de Coriolis à
introduire (elle n’intervient uniquement que lorsque le référentiel non galiléen
est en rotation). L’accélération d’entraînement correspond à l’accélération a(t)
du point G La force d’inertie d’entraînement est donc :
− →
F ie = −m o
− → a e = −m o
g sin a −
f
m
− → u x =
−m o g sin a +
m o
m
f
− → u x
b) Les autres forces exercées sur la masse m o (figure 8.23) :
le poids
− →
P o = m o
− → g = m o g[(sin a)u x − (cos a) − → u y ]
la tension
− →
T = T[−(sin u)u x + (cos u) − → u y ]
c) Condition d’équilibre de la masse m o dans le référentiel (R) :
− →
P o +
− →
T +
− →
F ie =
− →
0
Sur − → u x : m o g sin a − T sin u − m o g sin a +
m o
m
f = 0
Sur − → u y : T cos u − m o g cos a = 0
d) Sur − → u y : T cos u − m o g cos a = 0 ⇒ T cos u = m o g cos a (1)
Sur − → u x : m o g sin a − T sin u − m o g sin a +
m o
m
f = 0 ⇒ T sin u =
m o
m
f (2)
Le rapport de (2) sur (1) fait apparaître tan u :
tan u =
f
mg cos a
(la mesure de l’angle upermet de connaître f )
Applications numériques : tan u =
f
mg cos a
=
1000
200.10.0,5
= 1 ⇒ u = 45
◦ =
p
4
La valeur de la tension T du fil : T = m o g
cos a
cos u
= 0,01.10
1
2
.
√
2 = 0,1
√
2
2
= 0,0707N
e) Si les frottements sont nuls, alors f = 0 et l’angle u est nul.
Si f augmente, alors l’angle u augmente jusqu’à u = a qui correspond au cas
où les frottements sont suffisamment importants pour maintenir le véhicule à
l’équilibre.
211
1) a) Système : masse m de centre d’inertie G (figure 8.22) ;
Référentiel terrestre galiléen ;
Bilan des forces :
le poids
− →
P = m − → g = mg[(sin a) − → u x − (cos a)u y ]
la réaction normale du plan incliné
− →
R n = R n
− → u y
la force de frottement
− →
f = −f −
→ u x
Principe fondamental de la dynamique :
− →
P +
− →
R n +
− →
f = m − → a
Projection sur la base d’étude :
Sur − → u y : R n − mg cos a = 0 ⇒ R n = mg cos a
Sur − → u x : mg sin a − f = m¨ x ⇒ a(t) = ¨ x = g sin a −
f
m
L’accélération est constante. Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.
b) Le référentiel (R) lié au véhicule est en translation rectiligne uniformément
accéléré, par rapport au référentiel terrestre, avec une accélération a(t). Ce référentiel n’est pas en translation rectiligne uniforme ce qui serait la condition
pour qu’il soit galiléen. Il est donc non galiléen.
2) a) Le référentiel (R) étant en translation, il n’y a pas de force d’inertie de Coriolis à
introduire (elle n’intervient uniquement que lorsque le référentiel non galiléen
est en rotation). L’accélération d’entraînement correspond à l’accélération a(t)
du point G La force d’inertie d’entraînement est donc :
− →
F ie = −m o
− → a e = −m o
g sin a −
f
m
− → u x =
−m o g sin a +
m o
m
f
− → u x
b) Les autres forces exercées sur la masse m o (figure 8.23) :
le poids
− →
P o = m o
− → g = m o g[(sin a)u x − (cos a) − → u y ]
la tension
− →
T = T[−(sin u)u x + (cos u) − → u y ]
c) Condition d’équilibre de la masse m o dans le référentiel (R) :
− →
P o +
− →
T +
− →
F ie =
− →
0
Sur − → u x : m o g sin a − T sin u − m o g sin a +
m o
m
f = 0
Sur − → u y : T cos u − m o g cos a = 0
d) Sur − → u y : T cos u − m o g cos a = 0 ⇒ T cos u = m o g cos a (1)
Sur − → u x : m o g sin a − T sin u − m o g sin a +
m o
m
f = 0 ⇒ T sin u =
m o
m
f (2)
Le rapport de (2) sur (1) fait apparaître tan u :
tan u =
f
mg cos a
(la mesure de l’angle upermet de connaître f )
Applications numériques : tan u =
f
mg cos a
=
1000
200.10.0,5
= 1 ⇒ u = 45
◦ =
p
4
La valeur de la tension T du fil : T = m o g
cos a
cos u
= 0,01.10
1
2
.
√
2 = 0,1
√
2
2
= 0,0707N
e) Si les frottements sont nuls, alors f = 0 et l’angle u est nul.
Si f augmente, alors l’angle u augmente jusqu’à u = a qui correspond au cas
où les frottements sont suffisamment importants pour maintenir le véhicule à
l’équilibre.