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Mécanique du point
Il s’ensuit que la puissance instantanée fournie par la force excitatrice est donnée par
P− → F (t) = F 0 cos (vt) V 0 cos(vt + f v )
Nous noterons que pour faire ce type de calcul il importe de bien considérer les parties
réelles des quantités complexes. En effet la partie réelle d’un produit de deux nombres
complexes n’est pas égale au produit des parties réelles de ces deux nombres. C’est cette
dernière quantité qui nous intéresse dans ce calcul.
En utilisant l’expression de V 0 (6.3) et en développant le produit des cosinus, nous déduisons que
P− → F (t) =
F
2
0
2
a 2 + (mv −
k
v ) 2
[cos (2vt + f v ) + cos(f v )]
ce qui montre bien que le transfert de puissance est maximal à la résonance. En outre
on peut vérifier que la puissance moyenne fournie par la force excitatrice compense la
puissance développée par la force de frottement.
3.2. Puissance moyenne
La puissance moyenne fournie par la force
− →
F se calcule en prenant la valeur moyenne de
la puissance sur une période T, ce qui s’écrit :
P− → F (t)
=
1
T
T
0
P− → F (t)dt
Il s’ensuit que
P− → F (t)
=
F
2
0
2
a 2 + (mv −
k
v ) 2
cos(f v ) =
F
2
0
2 |Z (v)|
cos(f v )
soit en utilisant (6.3)
P− → F (t)
= a
V
2
0 (v)
2
La puissance développée par la force de frottement s’écrit :
P− →
f
(t) =
− →
f . − → v = −a − → v . − → v = −aV
2
0 cos
2 (vt + f v )
ce qui conduit à une puissance moyenne
P− →
f
(t)
= −a
V
2
0 (v)
2
Nous concluons donc que la puissance fournie par l’excitateur compense bien la puissance
développée par la force de frottement. De plus, la résonance mécanique est définie par la valeur
de la pulsation qui permet le transfert maximal de puissance entre l’excitateur et le résonateur. Il
s’ensuit que la résonance se produit quand V 0 (v) passe par un maximum ce qui est vérifié
quand v = v 0 .
Nous avons vu dans les paragraphes précédents que l’amortissement jouait un rôle primordial sur l’acuité de la résonance. Il est possible de rendre la notion d’acuité plus quantitative en introduisant le notion de facteur de qualité.
Mécanique du point
Il s’ensuit que la puissance instantanée fournie par la force excitatrice est donnée par
P− → F (t) = F 0 cos (vt) V 0 cos(vt + f v )
Nous noterons que pour faire ce type de calcul il importe de bien considérer les parties
réelles des quantités complexes. En effet la partie réelle d’un produit de deux nombres
complexes n’est pas égale au produit des parties réelles de ces deux nombres. C’est cette
dernière quantité qui nous intéresse dans ce calcul.
En utilisant l’expression de V 0 (6.3) et en développant le produit des cosinus, nous déduisons que
P− → F (t) =
F
2
0
2
a 2 + (mv −
k
v ) 2
[cos (2vt + f v ) + cos(f v )]
ce qui montre bien que le transfert de puissance est maximal à la résonance. En outre
on peut vérifier que la puissance moyenne fournie par la force excitatrice compense la
puissance développée par la force de frottement.
3.2. Puissance moyenne
La puissance moyenne fournie par la force
− →
F se calcule en prenant la valeur moyenne de
la puissance sur une période T, ce qui s’écrit :
P− → F (t)
=
1
T
T
0
P− → F (t)dt
Il s’ensuit que
P− → F (t)
=
F
2
0
2
a 2 + (mv −
k
v ) 2
cos(f v ) =
F
2
0
2 |Z (v)|
cos(f v )
soit en utilisant (6.3)
P− → F (t)
= a
V
2
0 (v)
2
La puissance développée par la force de frottement s’écrit :
P− →
f
(t) =
− →
f . − → v = −a − → v . − → v = −aV
2
0 cos
2 (vt + f v )
ce qui conduit à une puissance moyenne
P− →
f
(t)
= −a
V
2
0 (v)
2
Nous concluons donc que la puissance fournie par l’excitateur compense bien la puissance
développée par la force de frottement. De plus, la résonance mécanique est définie par la valeur
de la pulsation qui permet le transfert maximal de puissance entre l’excitateur et le résonateur. Il
s’ensuit que la résonance se produit quand V 0 (v) passe par un maximum ce qui est vérifié
quand v = v 0 .
Nous avons vu dans les paragraphes précédents que l’amortissement jouait un rôle primordial sur l’acuité de la résonance. Il est possible de rendre la notion d’acuité plus quantitative en introduisant le notion de facteur de qualité.